Konstante Krümmung beweisen

Ich bin gerade in Abschnitt 5.1 in Walds Buch. Er versucht zu beweisen, dass das kosmologische Prinzip impliziert, dass der Raum eine konstante Krümmung hat.

Gegeben sei eine raumartige Hyperfläche Σ T für eine bestimmte Zeit T , sagen wir, dass sie homogen ist, falls sie gegeben ist P , Q ∈ Σ T , gibt es eine Isometrie, ϕ , der Metrik G so dass ϕ ( P ) = Q .

Jetzt an einem bestimmten Punkt P ∈ Σ T , G induziert eine Riemannsche Metrik H An Σ T einfach durch einschränken G zu raumartigen Tangentenvektoren. Der Riemannsche Krümmungstensor R A B C D (unter Verwendung H um den dritten Index anzuheben) kann als lineare Karte aus betrachtet werden A 2 ( T P Σ T ) hinein A 2 ( T P Σ T ) (der Vektorraum von antisymmetrisch 2 -Tensoren definiert auf dem Tangentenraum zu Σ T bei P ). Lassen L bezeichnen diese lineare Abbildung. Als lineare Karte betrachtet, L ist symmetrisch oder äquivalent selbstadjungiert. Daher T P Σ T hat eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von L . Wenn die Eigenwerte unterschiedlich wären, könnten wir einen bevorzugten Tangentenvektor konstruieren, der die Isotropie verletzt. Daher sind alle Eigenwerte gleich und L = K ICH für einige konstant K und wo ICH ist der Identitätsoperator. Eine andere Möglichkeit, dies zu schreiben, ist R A B C D = K δ C [ A δ D B ] wobei die eckigen Klammern die Antisymmetrisierung bezeichnen (denken Sie daran, dass der Riemann-Tensor in seinen ersten beiden Indizes antisymmetrisch ist, deshalb haben wir dort die antisymmetrischen Klammern). Das Senken der letzten beiden Indizes ergibt R A B C D = K H C [ A H B ] D .

Hier ist jetzt der Teil, der mich stört. Wald sagt, dass Homogenität dies impliziert K muss konstant sein, dh kann nicht von Punkt zu Punkt variieren Σ T . Ich verstehe, dass Homogenität bedeuten soll, dass alles an jedem Punkt gleich ist, aber wir versuchen, dies mathematisch zu beweisen, und wir haben eine mathematische Definition von Homogenität. Ich verstehe nicht, wie unsere mathematische Definition von Homogenität das zeigt K ist von Punkt zu Punkt konstant.

Ich habe einen Kommentar zu meiner Antwort hinzugefügt, der von Interesse sein könnte.

Antworten (2)

Ich denke, Sie sollten einfach argumentieren, dass die Metrik "konstant" im Sinne von Gl. (C.2.3) an Σ T , sollte die Krümmung ebenfalls konstant sein.

Hier ist jedoch eine differenziertere Sichtweise. Unsere Definition von Homogenität ist die der Isometriegruppe ICH S Ö ( Σ T , H ) ist transitiv, dh gegeben P , Q ∈ Σ T es existiert ϕ ∈ ICH S Ö ( Σ T , H ) so dass ϕ ( P ) = Q . Ein sehr wichtiger Satz der Riemannschen Geometrie, der niemals in GR-Büchern (oder sogar Riemannschen Geometriebüchern) auftaucht, ist dieser 1 :

Lassen ϕ : ( M , G ) → ( M ~ , G ~ ) sei eine Isometrie. Dann ϕ ∗ R ich e M [ G ~ ] = R ich e M [ G ] , Wo R ich e M [ − ] ist der ( 0 , 4 ) Riemann-Tensor der jeweiligen Metriken.

Nun, wenn M ~ = M , dann wirklich G Und G ~ sind die gleiche Metrik. Damit liegt der Pullback des Riemann-Tensors bei Q ist der Riemann-Tensor bei P . Vertrag Walds Gleichung ( 3 ) R A B C D = K δ C [ A δ D B ] zu bekommen ( 3 ) R = 3 K Wo ( 3 ) R ist die induzierte Skalarkrümmung. 2 Ziehen Sie auch den obigen Satz zusammen, um zu erhalten ϕ ∗ R = R , was bedeutet, dass ( 3 ) R ( ϕ ( P ) ) = ( 3 ) R ( Q ) = ( 3 ) R ( P ) für alle P , Q ∈ Σ T . Daher ( 3 ) R ist konstant und daher K ist auch.

Es sollte angemerkt werden, dass Walds Definition der Isotropie so mächtig ist, dass Homogenität unnötig ist. Tatsächlich beweist Wald dies in der Mitte von Seite 94. Der mit der Riemannschen Geometrie vertraute Leser wird dies jedoch als Spezialfall von Schurs Lemma erkennen . Ich glaube, Straumann war der Erste, der diese Beobachtung in Straumann, N. Helva gemacht hat. Phys. Akt. 47 , 379 (1972).

  1. Es ist eine Übung in JM Lee, Introduction to Riemannian Manifolds (1997) auf Seite 119 und eine Übung in RK Sachs und H. Wu, General Relativity for Mathematicians (1977) auf Seite 19, aber siehe diesen Blogbeitrag von mir für die Lösung.

  2. Weil es mich für eine Sekunde verwirrt hat, hier ist die Kontraktion von δ C [ A δ D B ] :

    δ A [ A δ B B ] = 1 2 ( δ A A δ B B − δ A B δ B A ) = 1 2 ( 3 ⋅ 3 − δ A A ) = 1 2 ( 3 2 − 3 ) = 3.

Die Krümmung in der Allgemeinen Relativitätstheorie wird vollständig durch die Metrik bestimmt (da die Metrik die Levi-Civita-Verbindung bestimmt). Da die Metrik auf dem homogenen Raum konstant ist, muss dies auch die Krümmung sein.

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