Was sind die Analoga von FμνFμνF_{\mu\nu} in der Allgemeinen Relativitätstheorie?

Warnung: Diese Antwort nimmt die Perspektive der zweiten Tabelle und nicht der ersten in einer mit @knzhou verknüpften Frage ein.

Wir müssen zuerst erklären, was analog zu ist$A_\mu$. Die Christoffel-Symbole sind. Wir können dann fragen, was analog zu ist$F_{\mu\nu}$; der Riemann-Tensor ist. Ich vermute, die Antwort eines anderen wird eine Begründung dafür liefern, warum sich das von dem unterscheidet, was ich hier sagen werde, weil ich es vielleicht leider aus einer Perspektive außerhalb von GR betrachten werde.

Der klassische Elektromagnetismus und die allgemeine Relativitätstheorie sind beide Eichtheorien; letzteres Äquivalent zu local$U(1)$Transformationen sind allgemeine Koordinatentransformationen. In beiden Fällen wird eine sehr begrenzte Symmetrie, die die partiellen Ableitungen dieser Tensoren bewahrt, auf etwas erweitert, für das der erhaltene Begriff einer Ableitung partiell plus extra ist. Man muss nur die kovariante Ableitung der Eichung vergleichen$\partial_\mu\phi+qA_\mu\phi$(oder in einer nicht-Abelschen Yang-Mills-Theorie$\partial_\mu\phi_a+qf_a^{\:bc}A_{\mu b}\phi_c$) mit der Riemannschen Verbindung (auch bekannt als "kovariante Ableitung")$\partial_\mu V^\nu+\Gamma_{\mu\rho}^\nu V^\rho$um die Analogie zu schätzen.

Wir bezeichnen die hier oben verwendeten linearen Operatoren jeweils als$D_\mu,\,\nabla_\mu$. Damit erhalten wir Kommutatoren:$F_{\mu\nu}\propto[D_\mu,\,D_\nu]$, während$[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]V_\rho=R_{\mu\nu\rho\sigma}V^\sigma$. (Letzterem fehlt eine Ableitung des Vektorfelds, da GR keine Torsion hat.)

In der obigen Analogie, was eigentlich analog zu ist$g_{\mu\nu}$ist das obige Skalarfeld$\phi$.

Diese Antwort sagt ungefähr dasselbe wie die Antwort von @ JG, aber etwas anders formuliert.

Die Analogie zwischen dem Riemann-Tensor$R$und der elektromagnetische Feldstärketensor$F$ist nicht so offensichtlich, wenn wir sie mit Indizes verkleiden$F_{\mu\nu}$Und$R^\rho_{\,\,\mu\nu\sigma}$. Die Dinge werden jedoch offensichtlicher, wenn wir etwas abstrakter schauen.

• $F$kann man sich vorstellen als$2$-Form auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit, und es erfüllt$dF=0$(die äußere Ableitung). Oder in Komponenten, für alle$a,b,c$,$\frac{\partial F_{bc}}{\partial x^a}+\frac{\partial F_{ca}}{\partial x^{b}}+\frac{\partial F_{ab}}{\partial x^{c}}=0$. Diese Gleichung kodiert$\nabla \cdot B=0$Und$\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$

• Ebenso auf jedem Vektorbündel mit einer linearen Verbindung$(E,\pi,M, \nabla)$, die Krümmung$R$der Verbindung ist ein$\text{End}(E)$-geschätzt$2$- Form an$M$, dh es handelt sich um einen glatten Vektorbündelmorphismus$R:\bigwedge^2(TM)\to \text{End}(E)$. Grob gesagt sagt dies zu jedem Punkt$x\in M$, und jedes Paar von Vektoren$h_x,k_x\in T_xM$, betrachten wir die Ebene/den Bivektor$h_x\wedge k_x$, und zu einem solchen Bivektor haben wir einen Endomorphismus$R(h_x\wedge k_x)\in \text{End}(E_x)$. Ich erkläre die Intuition mehr in dieser MSE-Antwort . Nun kann man das auch beweisen$d_{\nabla}R=0$; dh die äußere kovariante Ableitung der Krümmung verschwindet. In Komponenten, heißt es$\nabla_a(R_{bc})+\nabla_b(R_{ca})+\nabla_c(R_{ab})=0$, die nichts anderes als die differentielle Bianchi-Identität ist. In dem Fall wo$E=TM$ist das Tangentenbündel (ein sehr häufiger Spezialfall), dann die Beschreibung von$R$als ein$\text{End}(TM)$-geschätzt$2$- Form an$M$ist gleichbedeutend mit der Aussage, die Krümmung sei a$(1,3)$-Tensorfeld an$M$.

Also beides$F,R$sind moralisch gesehen die gleiche Art von Objekt (a$2$-Form, der einzige Unterschied ist, dass einer skalarwertig ist, der andere endomorphismuswertig ist), und beide eine Form von Bianchis Identität erfüllen ($dF=0$vs$d_{\nabla}R=0$). Das ist auch der Grund, warum Sie hören können$F$wird als Krümmung bezeichnet.

Ich denke, es lohnt sich zu sagen, dass es hier in gewisser Weise kein großartiges 1-1-Analogon gibt:

die Maxwell-Aktion ist proportional zu$F^{ab}F_{ab}$, während JG zwar Recht hat, dass in vielerlei Hinsicht das "Analoge" für GR zu wählen ist$R_{abcd}$, die Hilbert-Wirkung ist proportional zu$g^{ab}R_{ab}$nicht$R^{ab}R_{ab}$. Die Kopplung an Materie erfolgt über a$g^{ab}$Begriff, auch, und nicht a$\Gamma$Begriff. Die allgemeine Kovarianz macht das Festnageln der "echten" Freiheitsgrade von GR viel komplexer als beim Elektromagnetismus, und es gibt nur viele Begriffe, über die man sich Sorgen machen muss.

Aus Sicht der Haupt-Lie-Gruppe (G) bündelt die Krümmung 2-Form

$$\textbf{F}=\textbf{dA}+\frac{1}{2}[\textbf{A,A}]$$ entsprechend der Lie-Gruppe$G=SU(N)$ist im Wesentlichen das Yang-Mühlen-Feld$F_{\mu\nu}$. Für$G=GL(n;C)$oder$GL(n;R)$, die Komponenten der Krümmung 2-Form sind die Riemann-Tensorkomponenten$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$.

Der propagierende dof für das Gravitationsfeld ist in den Komponenten der Weyl-Krümmung enthalten$C_{\alpha\beta\gamma\delta}$(spurloser Teil des Riemann-Tensors) und damit aus physikalischer Sicht das Analogon für$F_{ab}$in GR kann als Weyl-Krümmung genommen werden$C_{abcd}$. Es gibt gewisse Ähnlichkeiten b/w Maxwell-Tensor$F_{ab}$und Weyl-Tensor$C_{abcd}$:

Beide$F_{ab}$Und$C_{abcd}$sind spurlos und erfüllen die quellenfreien Gleichungen$\nabla ^aF_{ab}=0$(Maxwell) und$\nabla ^aC_{abcd}=0$(Einstein). In der Sprache der Repräsentationstheorie kann man zerlegen$F_{ab}$als die$(1,0)\oplus (0,1)$irreduzible Darstellung von$su(2)_L\times su(2)_R$. Dies kann mit dem symmetrischen Spinor ausgedrückt werden$\phi_{AB}$:

$$F_{ab} =F^{+}_{ab}+F^{-}_{ab} \leftrightarrow \phi_{AB}\epsilon_{A'B'}+\bar{\phi}_{A'B'}\epsilon_{AB}$$ In ähnlicher Weise kann man den Weyl-Tensor als zerlegen$D(2,0)$Und$D(0,2)$irreduzible Darstellung von$SL(2,C)$: $$C_{abcd}=C^{+}_{abcd}+C^{-}_{abcd}\leftrightarrow \Psi_{ABCD}\epsilon_{A'B'}\epsilon_{C'D'}+c.c.$$ Wo$\Psi_{ABCD}$(symmetrisch) ist der Gravitationsspinor. Diese Art der Zerlegung ist für den Riemann-Tensor nicht möglich. Man kann weiter gehen, um das Analogon anderer physikalischer Größen zu definieren, wie zum Beispiel:

1. Bel-Robinson-Tensor$T_{abcd}=\Psi_{ABCD}\bar{\Psi}_{A'B'C'D'}$als gravitatives Analogon für den freien elektromagnetischen Spannungsenergietensor:$T_{ab}=\frac{1}{2\pi}\phi_{AB}\bar{\phi}_{A'B'}$, die beide die Rainich-Bedingung und das "Erhaltungsgesetz" erfüllen.

2. Elektrische und magnetische Teile von$C_{abcd}$kann bezüglich eines zeitähnlichen Einheitsvektors definiert werden$u^a$:$E_{ab}=C_{abcd}u^cu^d$(elektrischer Teil) und$H_{ab}=\frac{1}{2}\eta_{ade}{C^{de}}_{bc}u^c$(magnetischer Teil). Beachten Sie die Ähnlichkeit mit elektrischen und magnetischen Vektoren in der Maxwell-Theorie:$E_a=F_{ab}u^b$,$H_a=\frac{1}{2}\eta_{abc}F^{bc}$.

Ich werde einen anderen Standpunkt hinzufügen, indem ich den Tetradenformalismus verwende. Wie @JG sagte, sind die Christoffel-Symbole ungefähr die Analoga der Messgeräteverbindung. Tatsächlich hat der Tetradenformalismus ein genaueres Analogon: die Spinverbindung$\omega$. Diese Spinverbindung ist$\mathfrak{spin}(1,3)$bewertet, genauso wie eine Eichverbindung in einer Eichgruppe bewertet wird (zum Beispiel hat man in QCD a$\mathfrak{su}(3)$-bewerteter Manometeranschluss). Man hat also folgenden Zusammenhang:

$$\begin{equation} \omega \in \Omega^1_{\mathfrak{spin}(1,3)}(\mathcal{M}) \equiv\Gamma(\mathfrak{spin}(1,3))\otimes_{\Omega^0(\mathcal{M})}\Omega^1(\mathcal{M})\simeq \Gamma(\mathfrak{spin}(1,3)\otimes \wedge^1 T^\ast \mathcal{M}) \end{equation}$$ Wo$\Omega^i(\mathcal{M})\equiv \Gamma(\wedge^i T^\ast \mathcal{M})$. Die Krümmung der Drehverbindung ist dann offensichtlich definiert als: $$\begin{equation} \Omega^2_{\mathfrak{spin}(1,3)}(\mathcal{M}) \ni \Omega\equiv d_\omega\omega \stackrel{!}{=}d\omega+[\omega \stackrel{\wedge}{,} \omega]_{\mathfrak{spin}(1,3)} \end{equation}$$ Hinzufügen eines torsionsfreien Zustands$d_\omega e=0$, Wo$e$die Tetrade ist, kann man eindeutig definieren$\omega$bezüglich$e$. Konkret,$\Omega$definiert von$e$ist nichts anderes als das Analogon des Riemann-Tensors. Aber ich denke, dass es klarer ist, warum$\Omega$ist analog zu$F$im Rahmen der üblichen Eichtheorie unter Verwendung des Tetradenformalismus. Man hat folgende Analogien: $$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \omega=\omega_\mu^{IJ}\sigma_{IJ}dx^\mu &\longleftrightarrow &A=A_\mu^a \tau^a dx^\mu \\ \Omega= \Omega_{\mu \nu}^{IJ}\sigma_{IJ}dx^\mu \wedge dx^\nu &\longleftrightarrow &F=F_{\mu \nu}^a \tau^a dx^\mu \wedge dx^\nu \end{array} \end{equation}$$ Um auf den üblichen Formalismus in GR zurückzukommen, werden normalerweise der magnetische Teil und der elektrische Teil der Krümmung der Raumzeit durch die Verwendung des Weyl-Tensors definiert, genau wie @KP99 sagte. Man kann nach einer Theorie fragen, bei der die Analogie stärker ist: Kann man eine Lagrange-Dichte definieren als die Kontraktion des Weyl-Tensors mit sich selbst? Die Antwort ist Ja, es ist die winkeltreue Gravitation , aber sie ist nicht unbedingt äquivalent zur Einstein-Hilbert-Wirkung.

In der U(1)-Eichtheorie sind das magnetische und das elektrische Feld eicheninvariante Größen. In der nicht-abelschen Eichtheorie sind ihre Analoga jedoch nicht eichinvariant und daher nicht messbar (außer wenn die Kopplung gegen Null geht). Die einzigen Dinge, die es gibt, sind die Abstimmungsrate, die topologische Ladung und die Lagrange-Funktion selbst.

Außerdem möchte ich eine andere Perspektive hinzufügen:

In drei Dimensionen kann der EH-Lagrangian mit einer kosmologischen Konstante beispielsweise in Form der SO(4)-Chern-Simons-Form ausgedrückt werden. Aus der Floer-Homologie folgt, dass Yang-Mills-Instantonen die Gradientenflusslinien der Chern-Simons-Wirkung sind, die auf dem Modulraum der Modulo-Eichtransformation der Hauptverbindungen funktional ist. Sie sind sozusagen Pfade einer teilchenähnlichen Bewegung im Konfigurationsraum und beschreiben die wahrscheinlichsten Tunnelpfade zwischen CS-Vakua. Betrachten wir eine leere dynamische Raumzeit als eine blätterige Mannigfaltigkeit, dann hat sie ähnliche Eigenschaften wie ein Instanton in der Yang-Mills-Theorie auf dem Zylinder der Dreiermannigfaltigkeit, der mit der realen Linie gekreuzt ist. Es interpoliert asymptotisch zwischen Ricci-flachen dreidimensionalen Räumen, indem es sich zusammenzieht und ausdehnt. Dies ist mathematisch manifest, wenn der Dreiraum maximal symmetrisch und positiv gekrümmt ist. In der zeitlichen Eichung wird die Interpretation von magnetischem und elektrischem Feld am einfachsten ersichtlich: Das magnetische Feld ist dann im Wesentlichen eine konstante positive skalare Krümmung der Dreimannigfaltigkeit, während das elektrische Feld als Geschwindigkeitsvektor der Bahn wirkt, die das Instanton beschreibt. So gesehen ist der YM-Lagrangian die skalare Krümmung der blättrigen vierdimensionalen Mannigfaltigkeit zusammen mit dem GHY-Randterm. Sie verschwindet für das Instanton im Fall von SO(4), ähnlich wie ein Gravitations-Instanton durch verschwindende 4-Ricci-Krümmung gekennzeichnet sein könnte. Das Magnetfeld ist dann im Wesentlichen eine konstante positive skalare Krümmung der Dreimannigfaltigkeit, während das elektrische Feld als Geschwindigkeitsvektor des Pfades wirkt, den das Instanton beschreibt. So gesehen ist der YM-Lagrangian die skalare Krümmung der blättrigen vierdimensionalen Mannigfaltigkeit zusammen mit dem GHY-Randterm. Sie verschwindet für das Instanton im Fall von SO(4), ähnlich wie ein Gravitations-Instanton durch verschwindende 4-Ricci-Krümmung gekennzeichnet sein könnte. Das Magnetfeld ist dann im Wesentlichen eine konstante positive skalare Krümmung der Dreimannigfaltigkeit, während das elektrische Feld als Geschwindigkeitsvektor des Pfades wirkt, den das Instanton beschreibt. So gesehen ist der YM-Lagrangian die skalare Krümmung der blättrigen vierdimensionalen Mannigfaltigkeit zusammen mit dem GHY-Randterm. Sie verschwindet für das Instanton im Fall von SO(4), ähnlich wie ein Gravitations-Instanton durch verschwindende 4-Ricci-Krümmung gekennzeichnet sein könnte.