Torsions- und spurinvarianter EM-Kinetikterm

Question

Torsions- und spurinvarianter EM-Kinetikterm

blasen

Jedes Mal, wenn ich davon höre, Torsion zu GR hinzuzufügen, frage ich mich: Wie erstellt man einen kinetischen Begriff für das elektromagnetische Feld, der immer noch eicheninvariant ist? Eine der Folgen der Torsion ist, dass kovariante Ableitungen nicht mehr auf Skalarfunktionen kommutieren, also durch Betrachten der $F_{\mu\nu} = \nabla_{\mu}A_{\nu}-\nabla_{\nu}A_{\mu}$ (durch das Äquivalenzprinzip auf minimale Kopplung beschränkt) und wir führen eine Eichtransformation darauf durch $A_{\mu} \to A_{\mu} + \partial_{\mu}\Lambda$ wir bekommen $F_{\mu\nu} \to F_{\mu\nu} + T^{\rho}_{\mu\nu}\partial_{\rho}\Lambda$ wo $T^{\rho}_{\mu\nu}$ ist der Torsionstensor. Wie können wir also mit Torsion in nicht reiner Schwerkraft umgehen?

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Pawel Safronow · Answer 1

Ihre Definition von $F_{\mu\nu}$ ist komisch. Vermute das Relevante $U(1)$ -bundle ist dann trivial $A$ ist eine 1-Form auf der Basis. Die Krümmung $F=dA$ ist unabhängig von der Metrik. In Koordinaten verwenden Sie immer noch die Formel ohne kovariante Ableitungen: $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ .

David Bar Mosche · Answer 2

Das Problem der Eichinvarianz des Maxwell-Feldes bei Vorhandensein von Torsion ist seit vielen Jahren bekannt. Es gibt keine bekannte perfekte Lösung für dieses Problem.

Die Bedeutung der Eichinvarianz der Maxwell-Wirkung besteht darin, dass sie eine Ladungserhaltung impliziert, die experimentell sehr gut nachgewiesen ist.

Eine Art von Vorschlägen (siehe Sabbata ) besteht in der nichtminimalen Kopplung des Maxwell-Felds an die Torsion. Es gibt andere Vorschläge, die die Arten von Verbindungen einschränken.

Die „Lösung“ von Benn Dereli und Tucker Phys Lett. B. 96B 100-104 (1980) besprochen, ist eine neuere Arbeit von Socolovsky (Abschnitt 35), die ansprechender erscheint, da sie weder eine Änderung der geometrischen Struktur der Maxwell-Theorie in Verbindung mit einem Einstein-Cartan-Hintergrund beinhaltet, noch auf das Minimale verzichtet Kupplung. Hier ist das Maxwell-Feld als äußere Ableitung des Vektorpotentials definiert (wie in Pavels Antwort), und die Maxwell-Aktion hat ihre "flache Raum" -Form mit Ausnahme des gekrümmten Raum-Zeit-Maß, das offensichtlich eichinvariant ist. Die unabhängigen Variablen werden jedoch als Tetradenkomponenten des Eichpotentials angenommen $A_a =e_a^{\mu} A_{\mu}$ eher die Raum-Zeit-Komponenten. Bei dieser Lösung manifestiert sich die Eichnichtinvarianz in der Lösung der Feldgleichungen für die Torsion selbst, die proportional zum nicht Eichinvarianten Spindichtetensor des Feldes ist. Die Lorentz-Generatoren, die die Raumintegrale der Spindichte-Null-Komponenten sind, sind jedoch immer noch eichinvariant.

Nur um zu sehen, ob ich es verstehe. Das Problem tritt auf, wenn Sie eine Verbindung nehmen $\nabla:TM\rightarrow TM\otimes\Omega^1$ Verwenden Sie auf dem Tangentenbündel die Metrik, um eine Verbindung auf dem Kotangensbündel zu erhalten $\nabla':\Omega^1\rightarrow\Omega^1\otimes\Omega^1$ , und dann definieren $F = \nabla' A$ , wo klemmt man die 1-Formen am Ende?
Erstens benötigen Sie keine Metrik, um eine Verbindung zum Kotangensbündel herzustellen. Der Isomorphismus von Vektorräumen induziert den Isomorphismus von dualen Vektorräumen. Wenn Sie also Vektoren parallel transportieren können, können Sie auch Konvektoren parallel transportieren. Eine affine Verknüpfung ergibt also einen kovarianten äußeren Ableitungsoperator, der genau dann gleich der üblichen äußeren Ableitung ist, wenn die Torsion verschwindet. Zweitens verstehe ich auch nicht, warum wir diese kovariante äußere Ableitung in der Aktion brauchen, anstatt die gewöhnliche äußere Ableitung zu verwenden. Vielleicht ist es nötig, weil sonst die Torsion keine physikalische Bedeutung hat.
@Pavel, Entschuldigung für die späte Antwort, ich fürchte, ich habe die Frage nicht verstanden. Nichtsdestotrotz sind hier einige weitere Details, von denen ich hoffe, dass sie hilfreich sind. Mit Hilfe des Vektorpotentials formuliert, hat die Maxwell-Lagrange-Funktion die gleiche Form wie auf einer Riemann-Mannigfaltigkeit. Wenn es jedoch in Bezug auf die Tetradenkomponenten des Eichfelds geschrieben wird (die lokal sind $u(1)$ bewerteten Abschnitten des Rahmenbündels, wird es abhängig von der Spinverbindung und als Folge erhält man die korrekten Maxwell-Gleichungen $\nabla *F = 0$ aus seiner Variation in Bezug auf die Tetradenkomponenten $A_a$ .

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blasen

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