Elektromagnetismus in gekrümmter Raumzeit

Hier gibt es einige Aspekte:

• Da hast du erstmal recht$g^{\alpha\mu}g^{\beta\nu}$Erhöhen Sie einfach die Indizes weiter$F_{\mu\nu}$.
• Der Feldstärketensor ist eigentlich als Differentialform zweiter Ordnung definiert, dh$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$mit partiellen Ableitungen. Für die Berechnung der Komponenten spielt das keine Rolle, da sich die zusätzlichen Terme mit Christoffel-Symbolen aufheben, aber der Formalismus ist viel klarer.
• Abschließend über die$\sqrt{-g}$: Dies ist ein Standardtrick, um (kovariante) Divergenzen umzuschreiben. Beachten Sie, dass die kovariante Ableitung (Ihre erste Gleichung) erweitert werden kann als $$D_\alpha F^{\alpha\beta}=\partial_\alpha F^{\alpha\beta} + \Gamma_{\alpha\gamma}^{\alpha} F^{\gamma\beta}+ \Gamma_{\alpha\gamma}^{\beta} F^{\gamma\alpha}\,.$$ Der letzte Term entfällt, weil$\Gamma$ist in den unteren Indizes und symmetrisch$F$ist antisymmetrisch. Das erste Christoffel-Symbol ist $$\Gamma_{\alpha\gamma}^\alpha=\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\left(\partial_\gamma g_{\alpha\delta}+\partial_\alpha g_{\gamma\delta}-\partial_\delta g_{\alpha\gamma}\right)\,,$$ wo der zweite und dritte Term aufhören (kannst du sehen warum?), so $$\Gamma_{\alpha\gamma}^\alpha=\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\partial_\gamma g_{\alpha\delta}\,.$$ Dies ist von der Form$\text{tr}\left(M^{-1}\partial M\right)$für die Matrix$g$. Verwendung der Identität $$\ln \det M=\text{tr}\ln M$$ (siehe z. B. https://math.stackexchange.com/questions/1487773/the-identity-deta-exptrlna-for-a-general ), können wir dies umschreiben als $$\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\partial_\gamma g_{\alpha\delta} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\gamma \sqrt{-g}\,,$$ und Ihre zweite Formel folgt aus der Leibniz-Regel. (Möglicherweise habe ich irgendwo ein Minuszeichen übersehen oder auch nicht.)