Diffeomorphismen, Isometrien und Allgemeine Relativitätstheorie

Entschuldigung, wenn diese Frage zu naiv ist, aber sie trifft den Kern von etwas, das mich seit einiger Zeit beschäftigt.

Unter einem Diffeomorphismus ϕ wir können ein beliebiges Tensorfeld vorantreiben F zu ϕ ∗ F . Ist die folgende Aussage richtig?

Wenn p ist dann ein Punkt der Mannigfaltigkeit F bei p ist gleich ϕ ∗ F bei ϕ ( p ) , da sie durch das Tensortransformationsgesetz in Beziehung stehen und Tensoren unabhängig von der Wahl der Koordinaten sind. ()

Ich habe das Gefühl, dass mir hier etwas Entscheidendes fehlt, denn dies scheint darauf hinzudeuten, dass Diffeomorphismen im Allgemeinen Isometrien waren (was meines Wissens falsch ist). (*)

Wenn die Aussage jedoch nicht wahr ist, bedeutet dies, dass physikalische Observable wie der elektromagnetische Tensor F μ v unter Diffeomorphismen nicht invariant wäre (was sie sein müssen, weil Diffeomorphismen eine Eichsymmetrie unserer Theorie sind). Eigentlich die richtige Zeit τ nicht einmal unveränderlich, es sei denn, wir haben eine Isometrie!

Was fehlt mir hier? Sicherlich sind es Isometrien und nicht Diffeomorphismen, die Eichsymmetrien sind?! Vielen Dank im Voraus.

Allgemeine Diffeomorphismen sind keine Isometrien; nur der Diffeomorphismus, unter dem die Werte des metrischen Tensors an jedem Punkt unveränderlich sind, sind per Definition Isometrien. Die Transformationsregeln für Tensorfelder werden jedoch durch dieselbe universelle Formel angegeben, die ziemlich gleich funktioniert, unabhängig davon, ob der Diffeomorphismus eine Isometrie ist oder nicht. Der einzige Unterschied zwischen Isometrie und Nicht-Isometrie besteht darin, dass ein bestimmtes Tensorfeld, das metrische Tensorfeld, invariant ist oder nicht. In GR bilden alle Diffeomorphismen (oder solche, die im Unendlichen trivial sind) eine Eichgruppe (oder deren Teil).
@LubošMotl - Danke für deinen Kommentar! Ich verstehe bereits den Unterschied zwischen Isometrien und Diffeomorphismen. Mein Problem ist, dass ein allgemeiner Diffeomorphismus die Metrik nicht beibehält und daher nicht unbedingt die richtige Zeit zwischen Ereignissen beibehält. Aber die Eigenzeit ist eine Beobachtungsgröße, die unabhängig vom Frame ist! Wie um alles in der Welt können wir sagen, dass Diffeomorphismen eine Eichsymmetrie sind, wenn sie eine physikalische Größe ändern?!
Die Eigenzeit ist koordinatenunabhängig. Es stimmt zwar, dass sich die metrischen Komponenten ändern, wenn sich die Koordinaten ändern, aber ein echtes Zeitintegral über einen zeitähnlichen Pfad zwischen zwei Raumzeitpunkten hat in beiden Koordinatensystemen denselben Wert.
@sjasonw: Ich spreche nicht von einer Koordinatentransformation, ich spreche von einem Diffeomorphismus. Ein Diffeomorphismus wird die Metrik selbst wirklich verändern, nicht nur ihre Komponenten. Die Komponenten der Metrik haben überhaupt keine physikalische Bedeutung, weil man ein Koordinatensystem wählen muss, um darüber sprechen zu können.
Sorry für meine Verwirrung. Natürlich sind Koordinatentransformationen lokale Diffeomorphismen von R n Mein Kommentar ist also möglicherweise nicht nutzlos ... Betrachten Sie Folgendes. Angenommen, ich habe einen zeitähnlichen Pfad γ zwischen Punkten a und b . Dann kann ich den Diffeomorphismus verwenden ϕ um einen neuen Weg zu finden ϕ ∘ γ . Ich würde denken, dass die richtige Zeit diesen neuen Weg mit bewertet ϕ ⋆ g wäre die gleiche wie die ursprüngliche Eigenzeit.
"Wie um alles in der Welt können wir sagen, dass Diffeomorphismen eine Eichsymmetrie sind, wenn sie eine physikalische Größe ändern?" Sie sind eine Eichsymmetrie in dem Sinne, dass sie Dirac-Observablen bewahren . Für die Diff-Gruppe sind diese Observablen jedoch ziemlich eingeschränkt - Dinge wie Integrale verschiedener Kontraktionen von Produkten des Riemann-Tensors mit sich selbst.
@sjasonw - aber gilt das, was du sagst, nicht nur für Isometrien?
@sjasonw - vielleicht gilt es auch für Geodäten, nur nicht für allgemeine zeitähnliche Kurven. Dies scheint darauf hinzudeuten. Vielleicht ist die Eigenzeit nur für Geodäten unveränderlich. Ist das physikalisch sinnvoll?
@EdwardHughes Eigentlich, wenn ( M , g ) ist eine Raumzeit, N ist eine Mannigfaltigkeit, und ϕ : M → N ist dann ein Diffeomorphismus ϕ ist eine Isometrie zwischen ( M , g ) und ( N , ϕ ⋆ g ) . Also vielleicht hilft das? Außerdem halte ich es nicht für vernünftig, dass dies nur für Geodäten gelten könnte: Beliebige zeitähnliche Kurven werden aus infinitesimalen Geodäten erstellt.
@sjasonw Nein - ist nicht ϕ nur eine Isometrie, wenn ϕ ∗ g = g ?
@EdwardHughes Was Sie gesagt haben, ist richtig, wenn wir über eine Isometrie zwischen sprechen ( M , g ) und sich selbst. Ich sprach von einer Isometrie zwischen ( M , g ) und eine andere Raumzeit ( N , ϕ ⋆ g ) (du kannst nehmen M = N wenn Sie wollen).
@sjasonw Ah richtig - also gibt es keinen Widerspruch in meinem ursprünglichen Beitrag, weil ein Diffeomorphismus natürlich eine Isometrie auf den Raum mit der nach vorne geschobenen Metrik ist? Wenn das richtig ist und Sie Ihre Kommentare als Antwort schreiben möchten, würde ich gerne positiv stimmen und akzeptieren! Danke vielmals!
@sjasonw Um genauer zu sein - gehe ich zu Recht zu dem Schluss, dass die Aussage ( ) richtig ist, aber die Schlussfolgerung (* ) in meinem OP fehlerhaft ist? Ich denke, das sagt dein Kommentar aus :)
Nun, die Aussage ist die richtige Idee, denke ich, aber das zu sagen, ist ein Tensor p gleich eins ist ϕ ( p ) ist nicht ganz klar. Wie Sie wissen, sind Tangentialräume an verschiedenen Punkten nicht von Natur aus isomorph, daher hat "gleich" keine Bedeutung. Wir können jedoch das verwenden, worüber wir oben gesprochen haben: den Diffeomorphismus ϕ induziert einen Isomorphismus zwischen T p M und T ϕ ( p ) M . Dann können wir das sicher sagen F ( p ) und ϕ ⋆ F ( ϕ ( p ) ) sind gleich". Ich denke, ich werde dies in eine Antwort aufnehmen.

Antworten (1)

Wenn p ein Punkt der Mannigfaltigkeit ist, dann ist F bei p gleich ϕ∗F bei ϕ(p), da sie durch das Tensortransformationsgesetz zusammenhängen und Tensoren unabhängig von der Wahl der Koordinaten sind.

Das stimmt ungefähr. Es hat zunächst keinen Sinn, wenn man sagt, dass Tensoren an verschiedenen Tangentialräumen gleich sind. Der Diffeomorphismus induziert jedoch einen Isomorphismus zwischen T p M und T ϕ ( p ) M (Der Isomorphismus ist nichts anderes als der Vektorvorschub). Bezüglich dieses Isomorphismus sind die beiden Tensoren gleich.

Ich habe das Gefühl, dass mir hier etwas Entscheidendes fehlt, denn dies scheint darauf hinzudeuten, dass Diffeomorphismen im Allgemeinen Isometrien waren ...

Dies ist tatsächlich in einem relevanten Sinne wahr. Wenn ( M , g ) ist eine Raumzeit und ϕ ∈ diff ( M ) , dann gibt es zwar keinen Grund, das zu glauben ϕ ist eine Isometrie zwischen ( M , g ) und sich selbst, ϕ ist immer eine Isometrie zwischen ( M , g ) und ( M , ϕ ⋆ g ) .

Dieser letzte Punkt erspart Ihnen die Sorge um die richtige Zeit. Wenn γ ist ein normalisierter zeitartiger Weg zwischen zwei Ereignissen a und b , können wir immer berücksichtigen ϕ ∘ γ als zeitartiger Weg hinein ( M , ϕ ⋆ g ) . Sie können überprüfen, ob der neue Pfad in Bezug auf die neue Metrik normalisiert ist ϕ ⋆ g . Die Domänen der beiden Pfade sind genau gleich, also die eigentliche Zeit dazwischen ϕ ( a ) und ϕ ( b ) ist dieselbe wie die Eigenzeit des ursprünglichen Pfads.

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