GR als Eichtheorie: Es gibt eine Lorentz-wertige Spin-Verbindung, aber was ist mit einer Translations-wertigen Verbindung?

Bei einer gegebenen internen Symmetriegruppe messen wir sie, indem wir die äußere Ableitung in ihre kovariante Version umwandeln:

D = D + A ,

Wo A = A A T A ist eine Lie-Algebra-bewertete Einsform, die als Verbindung (oder Eichfeld) und bekannt ist T die Algebrageneratoren.

Für GR möchten wir dasselbe mit der Poincaré-Gruppe tun. Aber die Poincaré-Gruppe ist nicht einfach, sondern spaltet sich eher in Übersetzungen auf P und Lorentztransformationen J . Ich würde also zwei Arten von Verbindungen erwarten:

D = D + B A P A + A A B J A B .

Aber die kovariante Ableitung von GR, wie sie normalerweise in Lehrbüchern zu finden ist, lautet:

∇ μ = ∂ μ + 1 2 ( ω a β ) μ J a β ,

Wo ω ist die Spinverbindung. Es ist für jedes Objekt definiert, das eine definierte Transformation unter hat J , dh unter Lorentz-Transformationen, wie Spinoren oder Tensoren. Der Übersetzungsgenerator wird jedoch nicht erwähnt P . Was ist passiert? Sollte ich nicht dieses zusätzliche Anzeigefeld haben?

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Man kann eine Poincare-Lie-Algebra-bewertete Cartan-Verbindung durch Einstellung herstellen

η = τ A e ∗ A + 1 2 σ A B ω A B
Wo τ A Und σ A B sind die Lie-Algebra-Generatoren für Übersetzungen und Lorentz-Transformationen, und e ∗ A = e μ A D X μ , ω A B = ω A B μ D X μ sind die Co-Rahmen- und Verbindungs-Eins-Formen. Dann zeigt eine Anwendung der Poincare-Lie-Algebra, dass sich die Krümmung als zerlegt
F ≡ D η + η ∧ η = τ A T A + 1 2 σ A B R A B ,
Wo T A = D e ∗ A + ω A B ∧ e ∗ B ist die Torsion und R A B = D ω A B + ω A C ∧ ω C B die übliche Riemannsche Krümmung. Somit wird die Torsion als Translationsanteil der Krümmung angesehen.

Die Leute machen daraus eine Art Eichtheorie, aber es ist keine konventionelle Prinzipbündel-Eichtheorie, und ich habe nie verstanden, wie die physikalischen Felder zu Abschnitten eines zugehörigen Bündels werden. Eine Standardreferenz ist Reviews of Modern Physics Band 48, Nr. 3 (1976) General Relativity with Spin and Torsion, Foundation and Prospects, von FW Hehl, P von de Heyde und GD Kerlick. Persönlich finde ich ihre Notation undurchdringlich, aber das ist wohl mein Fehler.

Ich habe auch diese Referenz zum Messen von Poincare gefunden, die ich interessant fand: arxiv.org/pdf/1502.06539
"Es ist keine konventionelle Prinzipbündel-Eichtheorie." Stimmt, das ist sicher. Wenn ich GR als Eichtheorie sage, meine ich einfach, dass die Theorie aus einer Verbindung aufgebaut ist, die eine (zuvor globale) Symmetriegruppe lokal macht. Ich verlange sicherlich nicht, dass alle Mechanismen und Schlussfolgerungen aus den üblichen Eichtheorien von Yang-Mills ohne Änderung oder Neuinterpretation übernommen werden! Wie auch immer, ich verstehe die Rolle der Tetrade immer noch nicht ganz e als Eichfeld der Übersetzungen.

In 2+1-Dimensionen entspricht die Allgemeine Relativitätstheorie mit Einstein-Hilbert-Wirkung mit oder ohne
kosmologischer Konstante einer Eichtheorie mit einer Eichgruppe ICH S Ö ( 2 , 1 ) , S Ö ( 3 , 1 ) oder S Ö ( 2 , 2 ) (abhängig vom Vorhandensein der kosmologischen Konstante und ihres Vorzeichens) und einer reinen Chern-Simons-Aktion .

Das Eichfeld ist eine Form mit Lie-Algebra-Wert

A ich = e ich A P A + ω ich A J A ,
Wo P A sind Übersetzungsgeneratoren und J A = 1 2 ϵ A B C J B C sind Generatoren von Lorentz-Transformationen.

Eine gute Referenz dafür ist ein Papier:

  • Witten, E. (1988). 2 + 1 dimensionale Gravitation als exakt lösliches System . Nuclear Physics B, 311(1), 46-78, doi , online pdf .

Dieses Papier enthält auch die folgende Passage zum vierdimensionalen Fall:

In den letzten zwanzig Jahren wollten viele Physiker das Vierbein miteinander kombinieren e ich A und die Spinverbindung ω ich A B in ein Eichfeld der Gruppe ICH S Ö ( D − 1 , 1 ) . Die Idee ist, dass die Spinverbindung das Eichfeld für Lorentz-Transformationen und das Vierbein das Eichfeld für Translationen wäre. Man versucht dann zu behaupten, dass „die allgemeine Relativitätstheorie eine Eichtheorie von ist ICH S Ö ( D − 1 , 1 ) “. Versuche, die allgemeine Relativitätstheorie als Eichtheorie in diesem engen Sinne zu interpretieren, hatten jedoch immer etwas Gekniffenes. Ein Aspekt des Problems ist, dass beispielsweise in vier Dimensionen die Einstein-Wirkung (2.2) von der allgemeinen Form ist ∫ e ∧ e ∧ ( D ω + ω 2 ) . Wenn wir interpretieren e Und ω als Eichfelder sollten wir dies mit einer Eichaktion vergleichen ∫ A ∧ A ∧ ( D A + A 2 ) . Aber eine solche Wirkung gibt es in der Eichtheorie nicht. Wir können also nicht hoffen, dass die vierdimensionale Gravitation in diesem Sinne eine Eichtheorie wäre.

Zur Passage aus Witten; Du bekommst nur ∫ e ∧ e ∧ ( D ω + ω 2 ) ist 4 Dimensionen? Ich dachte, das ist nur die Einstein-Hilbert-Lagrange-Funktion, die in allen Dimensionen gültig ist, nicht wahr?
@Anon21: Ω = D ω + ω ∧ ω ist eine 2-Form. In D Abmessungen, die wir brauchen D -Form zur Integration über die Mannigfaltigkeit, so dass die Anzahl der „ e ∧ ” Teile in EH Lagrange ist D − 2 .
GR als Eichtheorie: Es gibt eine Lorentz-wertige Spin-Verbindung, aber was ist mit einer Translations-wertigen Verbindung?
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