Die Beziehung zwischen Lorentz-Lie-Algebra und Krümmung

Lassen Sie mich versuchen, ein Vox Populi- Geheimnis zu erklären .

Wenn Sie eine Zweikugel haben,$S^2$, und definieren Sie einen Vektor auf einem Punkt$p$(Sie können sich einen Vektor als Pfeil vorstellen), der Vektor liegt nicht auf der Kugel!. Tatsächlich erzeugt (oder lebt) die Menge aller möglichen Vektoren an diesem Punkt in einem flachen und tangentialen Raum an der Kugel$p$, bezeichnet als$T_p S^2$.

Erster Hinweis: Ein$T_p S^2$Sie können eine euklidische Aktion definieren. Wenn Ihr Verteiler nicht ist$S^2$aber eine Raumzeit, Sie können eine Lorentz-Aktion auf dem Tangentialraum definieren. Diese Aktion der euklidischen (Lorentzschen) Gruppe ist lokal, weil sie für jeden Punkt definiert ist$p\in\mathcal{M}$.

Wenn Menschen den parallelen Transport verwenden, bewegt sich der Vektor von einem Tangentenraum zu einem anderen, diese Bewegung wird erreicht, indem eine Beziehung (oder Verbindung) zwischen den Tangentenräumen definiert wird ... wenn Sie möchten, sagt Ihnen diese Beziehung, wie die Tangentenräume zusammengeklebt sind .

Zweite Anmerkung: Die Verbindung sagt Ihnen, wie Sie sich von einem tangentialen Raum zu einem anderen bewegen , und bezieht sich auf alle euklidischen (Lorentzschen) Aktionen.

Die Krümmung misst, ob es möglich ist, eine globale euklidische (Lorentzsche) Struktur auf Ihrer Mannigfaltigkeit zu definieren. Wenn es keine Krümmung gibt, dann können Sie! ... wenn die Krümmung nicht verschwindet, haben Sie Pech. Irgendwie sagt Ihnen die Krümmung, ob die lokale Struktur Ihrer Mannigfaltigkeit global "erweitert" werden kann.

Dritte Anmerkung: Die Krümmung hängt mit Ihrer lokalen euklidischen oder Lorentzschen Struktur zusammen.

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Nun, etwas Spaß!!! (Ich beschränke mich auf Lorentz ... hatte es satt, Euklidisch -Lorentz- zu schreiben)

Die Lorentz-Gruppe wird durch eine Reihe von Generatoren definiert. Es ist möglich, inäquivalente Sätze von Generatoren zu finden (dies hängt mit den unterschiedlichen Darstellungen einer -Lie-Gruppe zusammen).

Ein bestimmter Satz von Generatoren der Lorentz-Gruppe ist durch den Kommutator von Gamma-Matrizen gegeben

$$\mathbb{J}^{ab} \simeq \left[\gamma^a,\gamma^b\right].$$

Sie können explizit zeigen, dass diejenigen$\mathbb{J}$erfüllen die Algebra von Lorentz.

Schließlich definiert man wie in jeder lokalen (oder Eich-) Theorie eine kovariante Ableitung

$$\mathcal{D}_\mu = \partial_\mu + \Omega_\mu,$$ mit $\Omega = \frac{1}{2}(\omega_\mu)_{ab}\mathbb{J}^{ab}$.

Durch die Berechnung des Kommutators erhalten Sie das gewünschte Ergebnis!!!

Das ist der Zusammenhang zwischen Krümmung und Lorentzgruppe ;-)