Bianchi-Identität mit Null-Tetrade

In Tetraden-Formalismen wollen Sie die Christoffel-Symbole nicht$\Gamma_{abc}$, Sie wollen die Verbindung 1-Formen. Für eine gegebene Basis 1-Form$e^a$,$d(e^a)$ist eine 2-Form. Nun muss es so sein

$$d(e^a) = \omega^a{}_b \wedge e_b.$$ für eine Matrix von 1-Formen $\omega^a{}_b$. Eigentlich ist es normalerweise besser, daran zu denken $\omega^a{}_b$als matrixwertige Einsform. Tatsächlich nimmt es Werte nur in $\mathfrak{so}(1,3)$, die Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe. Konkreter heißt das $\omega^a{}_b$ist antisymmetrisch bezüglich der Minkowski-Metrik.

Jedenfalls ist in diesem Formalismus die Riemannsche Krümmung an$\mathfrak{so}(1,3)$-bewertete 2-Form gegeben durch

$$R^a{}_b = d\omega^a{}_b + \omega^a{}_c \wedge \omega^c{}_b.$$ Die Aussage der Bianchi-Identität ist $$dR^a{}_b + \omega^a{}_c \wedge R^c{}_b + R^a{}_c \wedge \omega^c{}_b = 0.$$

Sie finden dieses Material in den Abschnitten 14.5 und 14.6 von Gravitation von Misner, Thorne und Wheeler.

---

Das Obige ist nicht mit dem Newman-Penrose-Formalismus verbunden, da es keine Spinoren erwähnt. Um den NP-Formalismus zu erhalten, müssen Sie Dyaden verwenden , die Spinorlifte von Nulltetraden. In diesem Formalismus ist die Verbindung 1-Form a $2\times 2$antisymmetrische komplexe Matrix, so gibt es $3\cdot 4=12$Komponenten, denen jeweils ein eigener griechischer Buchstabe zugeordnet werden kann. Die Newman-Penrose-Gleichungen erhält man nun, indem man die obigen Gleichungen, die Tetraden-Ableitungen darstellen, in Zweierkomponenten aufschreibt $D, \Delta, \delta, \overline{\delta}$.

Ich habe das noch nie im Detail gesehen, da ich mir vorstelle, dass die Berechnungen schrecklich langweilig und langweilig sind.

Die Methode, die ich hier zeigen werde, ist möglicherweise keine vollständige Option, kann aber hilfreich sein

$$\begin{eqnarray} D_\Gamma R^{\mu \nu} &=& 0 \;,\\ \mathrm d R^{\mu \nu} + \Gamma^\mu{}_\lambda \wedge R^{\lambda \nu} + \Gamma^ \nu{}_\gamma \wedge R^{\mu \gamma} &=&0\;,\\ \partial_{[\beta} R^{\mu \nu}{}_{{\rho\sigma}]} +\Gamma_{[\beta|}{}^\mu{}_\lambda R^{\lambda \nu}{}_{|{\rho\sigma}]}+ \Gamma_{[\beta|}{}^ \nu{}_\lambda R^{\mu \lambda }{}_{|{\rho\sigma}]} -\Gamma_{[\beta}{}^\gamma{}_{\rho |} R^{\mu \nu}{}_{\gamma | \sigma]} - \Gamma_{[\beta}{}^\gamma{}_\rho R^{\mu \nu}{}_{\rho ] \gamma} &=&0\;,\\ \therefore \nabla_{[\beta} R^{\mu \nu}{}_{{\rho\sigma}]} =0\;. \end{eqnarray}$$ Beachten Sie, dass My $\Gamma$eine andere Konvention verwenden $$\Gamma_{cab}=g(\nabla_{e_{a}}e_{b},e_{c})\;.$$ So $$\Gamma_c{}^a{}_b = \Gamma_{(c}{}^a{}_{b)}$$