Killing-Tensor und Riemann-Tensor-Identität

Ich weiß, dass es einfach ist, die Identität zu zeigen, wenn wir einen Tötungsvektor haben:

∇ A ∇ B K C = R C B A k K D

Ich versuche jetzt, die folgende Identität für a zu zeigen ( 0 , 2 ) Tötungstensor :

∇ ( A ∇ B K C ) D = − R D ( A B e K C ) e

Ich weiß, dass ich die Tatsache verwenden sollte, dass ein Killing-Tensor K A B ist symmetrisch und erfüllt ∇ ( A K B C ) = 0 .

Ich habe es mit dem Ausschreiben versucht

( ∇ A ∇ B − ∇ B ∇ A ) K C D = R A B C e K C e + R A N D e K D e
und verschiedene Permutationen über a, b und c zu nehmen, aber ich konnte damit keine großen Fortschritte machen und würde mich über einen Einblick freuen!

Ich habe mich auch gefragt, ob solche Identitäten verallgemeinern? Haben wir immer eine Beziehung für a ( 0 , N ) Tötungstensor, der seine zweiten Ableitungen mit einer algebraischen Beziehung zum Riemann-Tensor in Beziehung setzt?

Die Berechnungen und Referenzen in diesem Dokument ( arxiv.org/abs/0907.5470 ) von Cook und Dray könnten hilfreich sein. Siehe insbesondere Satz 1 auf Seite 4.
Bist du sicher, dass diese Aussage stimmt? ∇ ( A ∇ B K C D ) = ∇ A ∇ ( B K C D ) + ∇ B ∇ ( A K C D ) + ∇ C ∇ ( A K B D ) + ∇ D ∇ ( A K B C ) . Durch das Töten der Gleichung ist jeder Term auf RHS eine Ableitung einer überall Nullfunktion, daher ist LHS 0. Sieht also so aus, als ob Ihre LHS identisch verschwinden sollte.
@bianchira Ja, danke, dass du das entdeckt hast! Die Symmetrierung sollte nur um a, b und c liegen, ich habe es jetzt bearbeitet.

Antworten (1)

Als erstes brauchen wir die Gleichung:

(1) 2 ∇ [ A ∇ B ] K C D = R A B C e K e D + R A B D e K C e = 2 R A B ( C K D ) e .
Wir haben:
R D ( B A e K C ) e = 1 3 ( R D B ( A e K C ) e + R D A ( B e K C ) e + R D C ( B e K A ) e ) = 1 3 ( ∇ [ D ∇ B ] K A C + ∇ [ D ∇ A ] K B C + ∇ [ A ∇ C ] K B A ) ,
wo wir Gleichung verwendet haben (1) . Jetzt drücken wir einige Begriffe aus, damit der Index D wird mit von den kovarianten Ableitungen entfernt ∇ ( A K B C ) = 0 , somit wird der vorherige Ausdruck zu:
1 3 ! ( ∇ D ∇ B K A C + ∇ B ∇ A K D C + ∇ B ∇ C K A D + ∇ D ∇ A K B C + ∇ A ∇ B K D C + ∇ A ∇ C K D B + ∇ D ∇ C K B A + ∇ C ∇ B K D A + ∇ C ∇ A K B D ) = ∇ D ∇ ( A K B C ) + ∇ ( A ∇ B K C ) D ,
was die Identität beweist.

In Bezug auf die Frage nach der Verallgemeinerung ist ein Hinweis darauf, dass dies möglich ist, wenn K A ein Killing-Vektor ist, kann man durch Schreiben einen Killing-Tensor bilden K A K B usw., und die Induktion zeigt, dass eine Gleichung mit doppelt kovarianten Ableitungen und Riemann-Tensoren existiert.

Killing-Tensor und Riemann-Tensor-Identität
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