Unterschied zwischen ∂∂\partial und ∇∇\nabla in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Sind diese eckigen Klammern die Standardnotation in der Physik?

Ja. Siehe zum Beispiel die Notizen von Sean Carroll . Zumindest kann ich Ihnen von zwei anderen klassischen Referenzen erzählen, die diese Notation verwenden, "General Relativity" von Wald (1984) und "A First Introducion to General Relativity" von Schutz (2009 für die neueste Ausgabe).

Wenn ich in einer nicht gekrümmten bin$\mathbb M$Minkowski$(1, 3)$Raum, wo ich keine Krümmung habe (seit$\eta_{\mu\nu}$Ist$\mathop{diag}(1, -1, -1, -1)$?), das dachte ich mir$\partial_\mu = \nabla_\mu$. Kann ich schreiben$\nabla_\mu$anstelle meiner partiellen Ableitungen oder bedeuten sie etwas anderes?

Sie können sie in diesem Fall gleichgültig verwenden . Allerdings NICHT, wenn Sie auf nichtkartesische Koordinaten (z. B. Kugelkoordinaten) umschalten, da dann die Verbindungskoeffizienten auch ohne Krümmung im Allgemeinen nicht Null sind und somit die kovarianten Ableitungen von den gewöhnlichen partiellen Ableitungen abweichen können, auch im flachen Raum.

Ich würde einfach vermeiden, die Symbole zu mischen, oder es kostet Sie in Zukunft einige zusätzliche Mühe, die Gewohnheit rückgängig zu machen, wenn Sie etwas über GR und gekrümmte Räume lernen.

Dies sind die Definitionen:

$\partial_\mu V^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V^{\nu}$

$\nabla_\mu V^{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}V^{\alpha}$

Die sogenannten Verbindungskoeffizienten sind die$\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}$. Ihre Definition besteht aus einer bestimmten Kombination partieller Ableitungen der Elemente der Metrik. In einem flachen Raum und kartesischen Koordinaten können Sie sie ignorieren: Sie sind Null, da die Elemente der Metrik alle nur konstante Zahlen sind,$(1,-1,-1,-1)$. Dies bedeutet jedoch nicht, dass sie in der Speziellen Relativitätstheorie im Allgemeinen Null sind: Die diagonalen Elemente des metrischen Tensors in Kugelkoordinaten beispielsweise sind Funktionen der Koordinaten, nämlich$(1, -1, -r^2, -r^2 sin^2 \theta)$obwohl der Raum flach ist.

Wenn Sie daran interessiert sind, sich an kovariante Ableitungen und Tensorrechnungen im Allgemeinen zu gewöhnen, ohne allzu viel Aufwand zu investieren, empfehle ich Ihnen das letzte Kapitel (insbesondere die gelösten Probleme) des klassischen, kleinen Buches „Vektorrechnung“ (MR Spiegel) aus der Schaum-Reihe. Und um ein Gefühl für die geometrische Bedeutung der Verbindungskoeffizienten zu bekommen, googeln Sie nach "Parallel Transport". Das oben erwähnte Schutzbuch hat auch eine sehr schöne Erklärung.