Warum ist der Ricci-Tensor definiert als RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Es gibt nur sechs mögliche Kontraktionen, von denen jede mit Hilfe der Symmetrien des Riemann-Tensors vereinfacht werden kann:

$R^{\mu}_{\enspace\mu\lambda\sigma}=0$Weil$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=-R_{\nu\kappa\lambda\sigma}$.

$R^{\mu}_{\enspace\nu\mu\sigma}=\text{Ric}_{\nu\sigma}$ist die übliche Definition.

$R^{\mu}_{\enspace\nu\lambda\mu}=-\text{Ric}_{\nu\lambda}$Weil$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=-R_{\kappa\nu\sigma\lambda}$.

$R^{\enspace\mu}_{\kappa\enspace\mu\sigma}=-\text{Ric}_{\kappa\lambda}$Weil$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=R_{\nu\kappa\lambda\sigma}$.

$R^{\enspace\mu}_{\kappa\enspace\lambda\mu}=\text{Ric}_{\kappa\lambda}$Weil$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=R_{\nu\kappa\sigma\lambda}$.

$R^{\enspace\enspace\mu}_{\kappa\lambda\enspace\mu}=0$Weil$R_{\kappa\nu\lambda\sigma}=R_{\kappa\nu\sigma\lambda}$.

Alle möglichen Kontraktionen ergeben also entweder den Ricci-Tensor, seine Negation oder Null. Daher ist der Ricci-Tensor einzigartig: Er (oder seine Negation) ist der einzige Tensor 2. Ordnung ungleich Null, den Sie durch Kontraktion des Riemann-Tensors erzeugen können.

Die geometrische Interpretation des Ricci-Tensors ist, dass er beschreibt, wie sich offene Kugeln auf einer Mannigfaltigkeit verhalten, dh wie sich der Radius einer offenen Kugel verhält. Dies ist natürlich eine symmetrische Größe, da die Mannigfaltigkeit so konstruiert ist, dass Sie die Wahl haben, welche Basis Sie wählen. Die Symmetrien des Riemann-Tensors sind

Es ist eine Wahl, die auf Symmetrie basiert.

Der Ricci-Krümmungstensor ist ein symmetrischer Tensor des Ranges 2, der natürlich in der pseudo-riemannschen Geometrie entsteht. Sei (M, gij) eine glatte, n-dimensionale Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit, und Rijkl bezeichne den entsprechenden Riemann-Krümmungstensor. Der Ricci-Tensor Rij wird allgemein als die folgende Kontraktion des Tensors der vollen Krümmung definiert:

Rij=Rk.ikj

Die so definierte Indexsymmetrie von Rij folgt aus den Symmetrieeigenschaften der Riemannschen Krümmung. Nämlich,

Rij=Rk=ikjRki=jkRk=jkiRji.

Es ist auch zweckmäßig, den Ricci-Tensor als symmetrische bilineare Form zu betrachten. Zu diesem Zweck werden wir für Vektorfelder X, Y schreiben

Ric(X,Y)=XiYjRij.

Quelle: http://www.studygtu.com/2016/02/what-is-ricci-tensone.html