Riemannsche Krümmungstensorsymmetrien Beweis

Question

Riemannsche Krümmungstensorsymmetrien Beweis

Benutzer52205

Ich versuche zu expandieren

ε^{A B C D} R_{A B C D}

$\varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}}$ unter Verwendung von vier Identitäten des Riemannschen Krümmungstensors :

Symmetrie

R_{A B C D} = R_{C D A B}

$R_{{abcd}} = R_{{cdab}}$ Antisymmetrie erstes Indexpaar

R_{A B C D} = - R_{B A C D}

$R_{{abcd}} = - R_{{bacd}}$ Antisymmetrie letztes Indexpaar

R_{A B C D} = - R_{A B D C}

$R_{{abcd}} = - R_{{abdc}}$ Zyklizität

R_{A B C D} + R_{A D B C} + R_{A C D B} = 0

$R_{{abcd}} + R_{{adbc}} + R_{{acdb}} = 0$

Soweit ich weiß, sollten sich die Begriffe aufheben und am Ende ist es

ε^{A B C D} R_{A B C D} = 0.

$\varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}} = 0.$

Was ich am Ende hatte, war dieses Durcheinander:

\begin{array}{l} ε^{A B C D} R_{A B C D} = R_{[A B C D]} = \frac{1}{4!} (\underset{- R_{D C A B}}{\underset{+ R_{C D A B}}{\underset{- R_{A B D C}}{\underset{+ R_{B A D C}}{\underset{- R_{B A C D}}{R_{A B C D}}}}}} + \underset{- R_{A D B C}}{\underset{+ R_{C B A D}}{\underset{- R_{C B D A}}{\underset{+ R_{B C D A}}{R_{D A B C}}}}} + \underset{- R_{A B D C}}{\underset{+ R_{D C B A}}{\underset{- R_{C D B A}}{\underset{- R_{D C A B}}{\underset{+ R_{B A D C}}{\underset{- R_{B A C D}}{\underset{+ R_{A B C D}}{R_{C D A B}}}}}}}} + \underset{+ R_{D A B C}}{\underset{- R_{C B D A}}{\underset{+ R_{C B A D}}{\underset{- R_{B C A D}}{R_{B C D A}}}}} - \underset{- R_{B D C A}}{\underset{+ R_{A C D B}}{\underset{+ R_{D B C A}}{\underset{- R_{D B A C}}{\underset{+ R_{B D A C}}{R_{A C B D}}}}}} - \underset{+ R_{A D B C}}{\underset{- R_{B C D A}}{\underset{+ {R_{B C A D}}_{}}{\underset{- R_{C B A D}}{R_{A D C B}}}}} - \underset{+ R_{A B C D}}{\underset{- R_{B A C D}}{\underset{+ R_{B A D C}}{R_{A B D C}}}} - \underset{+ R_{A B C D}}{\underset{- R_{A B D C}}{\underset{+ R_{B A D C}}{\underset{- R_{B A C D}}{R_{C D B A}}}}}) \end{array}

$\begin{array}{l} \varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}} = R_{\left[ {abcd} \right]} = \frac{1}{4!} \left( \underset{- R_{{dcab}}}{\underset{+ R_{{cdab}}}{\underset{- R_{{abdc}}}{\underset{{\color{dark green} + R_{{badc}}}}{\underset{- {\color{red} {\color{black} R_{{bacd}}}}}{{\color{blue} R_{{abcd}}}}}}}} + \underset{{\color{magenta} - R_{{adbc}}}}{\underset{{\color{red} + R_{{cbad}}}}{\underset{- R_{{cbda}}}{\underset{+ R_{{bcda}}}{{\color{magenta} {\color{black} R_{{dabc}}}}}}}} + \underset{- R_{{abdc}}}{\underset{+ R_{{dcba}}}{\underset{- R_{{cdba}}}{\underset{- R_{{dcab}}}{\underset{{\color{dark green} + R_{{badc}}}}{\underset{- R_{{bacd}}}{\underset{+ R_{{abcd}}}{R_{{cdab}}}}}}}}} + \underset{+ R_{{dabc}}}{\underset{- R_{{cbda}}}{\underset{{\color{red} + R_{{cbad}}}}{\underset{- {\color{blue} {\color{black} R_{{bcad}}}}}{{R_{{bcda}}}}}}} - \underset{- R_{{bdca}}}{\underset{{\color{blue} + R_{{acdb}}}}{\underset{+ R_{{dbca}}}{\underset{- R_{{dbac}}}{\underset{+ R_{{bdac}}}{R_{{acbd}}}}}}} - \underset{{\color{blue} + R_{{adbc}}}}{\underset{- R_{{bcda}}}{\underset{+ {\color{blue} {\color{black} R_{{bcad}}}}_{}}{\underset{{\color{red} - R_{{cbad}}}}{R_{{adcb}}}}}} - \underset{{\color{black} + R_{{abcd}}}}{\underset{- R_{{bacd}}}{\underset{{\color{dark green} + R_{{badc}}}}{R_{{abdc}}}}} - \underset{{\color{magenta} + R_{{abcd}}}}{\underset{- R_{{abdc}}}{\underset{{\color{red} {\color{dark green} + R_{{badc}}}}}{\underset{- {\color{red} {\color{black} R_{{bacd}}}}}{R_{{cdba}}}}}} \right) \end{array}$

wo ich die blauen oder violetten Terme mit Zyklizität loswerden kann, aber ich stecke fest, weil ich nicht sehe, wie ich alle Terme zum Abbrechen bringen kann. Das Hauptproblem scheint zu sein, dass der letzte Term in der Zyklizität identisch ist

(R_{A C D B})

$\left( R_{{acdb}} \right)$ kann erst ab dem 5. Semester erworben werden

(R_{A C B D})

$\left( R_{{acbd}} \right)$ in dem Ausdruck, den ich habe. Nachdem ich 6 Terme mit Zyklizität losgeworden bin, dachte ich, ich könnte das bekommen, was mit einer Symmetriebeziehung übrig bleibt. Gehe ich hier den falschen Weg? Brauche ich eine andere Beziehung? Carroll in „Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie“ sagt in Gleichung 3.83, dass ich nur den Ausdruck for erweitern muss

R_{[A B C D]}

$R_{\left[ {abcd} \right]}$ und verwirren Sie mit den Indizes, indem Sie die 4 Identitäten verwenden, um zu beweisen, dass sie auf Null reduziert werden.

Um die Sichtbarkeit zu erhöhen, habe ich dieselbe Frage auf http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=4852429#post4852429 gestellt , aber noch keine Antworten erhalten.

Antworten (2)

Riemannsche Krümmungstensorsymmetrien Beweis

Robin Ekmann · Answer 1

Ich denke, dass es nur notwendig ist, die zyklische Identität zu verwenden. Wir hätten beide Seiten mit Levi-Civita unter Vertrag nehmen sollen

\begin{matrix} (1) & 0 = (R_{A B C D} + R_{A D B C} + R_{A C D B}) ε^{A B C D} . \end{matrix}

$0 = (R_{abcd} + R_{adbc} + R_{acdb}) \varepsilon^{abcd} \tag{1}.$ Lassen

S = R_{a b c d} ε^{a b c d}

$S = R_{abcd}\varepsilon^{abcd}$ . Dann

R_{a d b c} ε^{a b c d} = - R_{a d b c} ε^{a c b d} = R_{a d b c} ε^{a d b c} = S

$R_{adbc}\varepsilon^{abcd} = -R_{adbc}\varepsilon^{acbd} = R_{adbc}\varepsilon^{adbc} = S$ wobei der letzte Schritt darin besteht, die Dummy-Indizes umzubenennen. Mit dem gleichen Argument ist auch der dritte Term gleich

S

$S$ , also sagen wir (1) das

3 S = 0

$3S = 0$ .

Saksith Jaksri · Answer 2

Erstens, per Definition von $\varepsilon$

ε^{A B C D} R_{A B C D} = ε^{A B C D} R_{A [B C D]} = jede Symmatrisierung der Indizes von R

$\varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}} = \varepsilon^{{abcd}} R_{{a[bcd]}} =\text{any symmatrization of the indices of $R$}$ Aber

\begin{array}{rcl} R_{A [B C D]} & = & \frac{1}{3!} {R_{A B C D} - R_{A B D C} + R_{A D B C} - R_{A D C B} + R_{A C D B} - R_{A C B D}}, \\ = & \frac{1}{3} {R_{A B C D} + R_{A D B C} + R_{A C D B}}, \\ = & 0 . (nach der ersten Bianchi-Identität) \end{array}

$\begin{eqnarray}R_{{a[bcd]}} &=&\frac{1}{3!}\bigg\{ R_{abcd}-R_{abdc}+R_{adbc}-R_{adcb}+R_{acdb} -R_{acbd} \bigg\}\;,\\ &=& \frac 1 3 \bigg\{ R_{abcd}+R_{adbc} +R_{acdb}\bigg\}\;,\\ &=& 0\;.\texttt{(by the first Bianchi identity)} \end{eqnarray}$ So,

ε^{A B C D} R_{A B C D} = ε^{A B C D} R_{A [B C D]} = ε^{A B C D} \times 0 = 0 . ◼

$\varepsilon^{{abcd}} R_{{abcd}} = \varepsilon^{{abcd}} R_{{a[bcd]}} =\varepsilon^{{abcd}}\times 0=0\;.\quad\quad\quad\blacksquare$

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Benutzer52205

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Robin Ekmann

Saksith Jaksri

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