Variation gegenüber RabcdRabcdR_{abcd}? Wie berechnet man∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

Question

Variation gegenüber RabcdRabcdR_{abcd}? Wie berechnet man∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

phy_math

In letzter Zeit habe ich mich für Walds Entropieformel interessiert. In diesem Formalismus gibt es einen Tensor $P^{abcd}=\frac{\partial L}{\partial R_{abcd}}$ .

Unter einigen Papieren erwähnen sie $P^{abcd}$ , die seine symmetrisch antisymmetrischen Eigenschaften beschreibt. Aber ich möchte die explizite Form von wissen $P$ in bestimmten Fällen.

Es gibt bekannte Ergebnisse der Einstein-Hilbert-Aktion (sie erwähnen, $P^{abcd}=\frac{1}{2}(g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})$ für den Fall Einstein Hilbert), also gehe ich davon aus

\begin{aligned} \frac{\partial R}{\partial R_{A B C D}} = \frac{1}{2} (G^{A C} G^{B D} - G^{A D} G^{B C}) (?) \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}(g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})(?) \end{align}$ Wo

g

$g$ ist die übliche symmetrische Metrik,

R_{a b c d}

$R_{abcd}$ ist der Riemann-Krümmungstensor, und

R

$R$ ist der Ricci-Skalar.

Es scheint, dass sie behandeln $R_{abcd}$ Und $g_{ab}$ unabhängig, also ist mein erster Versuch zersetzen $R=g^{ac}g^{bd}R_{abcd}$ , und versuchen Sie zu berechnen $\frac{\partial R_{pqrs}}{\partial R_{abcd}}$ , aus den symmetrischen Argumenten

\begin{aligned} \frac{\partial R_{A B C D}}{\partial R_{P Q R S}} = δ_{A B}^{P Q} δ_{C D}^{R S} + δ_{C D}^{P Q} δ_{A B}^{R S} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial R_{abcd}}{\partial R_{pqrs}}=\delta_{ab}^{pq}\delta^{rs}_{cd}+\delta_{cd}^{pq}\delta^{rs}_{ab} \end{align}$ Aber stecken Sie diese an

R

$R$ , erhalte ich eine etwas andere oben gezeigte Antwort.

Mache ich etwas falsch?

Wenn Sie diese Art von Ableitung erlebt haben, haben Sie irgendwelche Hinweise oder Ratschläge für diese Art von algebraischer Berechnung?

QMechaniker

Hallo @phy_math: Ist das aus Walds GR-Buch? Welche genaue Referenz? Welche Seite?

phy_math

@Qmechanic, es stammt aus Walds Artikel über BlackHoles. Ich sehe diese Art von Gleichungen oft wie modifizierte Schwerkraft,

f (R)

$f(R)$ , und Gauss-Bonnet-Schwerkraft, höhere Ableitungstheorien usw.

Antworten (1)

Variation gegenüber RabcdRabcdR_{abcd}? Wie berechnet man∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

Hallo @phy_math: Ist das aus Walds GR-Buch? Welche genaue Referenz? Welche Seite?
@Qmechanic, es stammt aus Walds Artikel über BlackHoles. Ich sehe diese Art von Gleichungen oft wie modifizierte Schwerkraft, $f(R)$ , und Gauss-Bonnet-Schwerkraft, höhere Ableitungstheorien usw.

JG · Answer 1

Beachten Sie das zunächst

R = R_{A C} G^{A C} = R_{A B C D} G^{A C} G^{B D} .

$R=R_{ac}g^{ac}=R_{abcd}g^{ac}g^{bd}.$ Die Antisymmetrien von

R

$R$ implizieren

R_{A B C D} (G^{A C} G^{B D} + G^{A D} G^{B C}) = 0, R = R_{A B C D} ((1 - k) G^{A C} G^{B D} - k G^{A D} G^{B C})

$R_{abcd}\left( g^{ac}g^{bd}+g^{ad}g^{bc} \right) = 0,\, R=R_{abcd}\left( \left( 1-k\right) g^{ac}g^{bd}-k g^{ad}g^{bc}\right)$ für jede Konstante

k

$k$ . Seit

\frac{\partial R}{\partial R_{a b c d}}

$\dfrac{\partial R}{\partial R_{abcd}}$ müssen beim Austausch antisymmetrisch sein

a

$a$ mit

b

$b$ oder

c

$c$ mit

d

$d$ , es ist der Koeffizient, der durch Auswahl erhalten wird

k

$k$ so dass

1 - k = k

$1-k=k$ , dh

k = \frac{1}{2}

$k=\frac{1}{2}$ . Somit

\frac{\partial R}{R_{A B C D}} = \frac{1}{2} (G^{A C} G^{B D} - G^{A D} G^{B C}) .

$\frac{\partial R}{R_{abcd}}=\frac{1}{2}\left( g^{ac}g^{bd}-g^{ad}g^{bc}\right).$ Beachten Sie das

a b c d \to c d a b

$abcd\to cdab$ Symmetrie.

Danke!, Mir ist aufgefallen, dass symmetrisches Argument für die Variation von funktioniert $R$ , aber wie wär's $R_{ab} R^{ab}$ Fall?, Ich werde es als einen anderen Beitrag machen.
@phy_math Hinweis: Wenn $X_{ab}^{cdef}:=\dfrac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}$ Dann $\dfrac{\partial \left( R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=2R^{ab}X_{ab}^{cdef}$ .
Mit Ihrem Kommentar habe ich einen Beitrag zu physical.stackexchange.com/questions/301787/… gemacht , dennoch bin ich etwas verwirrend, wenn ich Begriffe für bestimmte Paare symmetrisiert und antisymmetrisiert mache.
Symmetrien: $R_{xy}=-R_{yx}$ , $\;\;\langle R_{xy}v,w\rangle=-\langle R_{xy}w,v\rangle$ , $\;\;R_{xy}z+R_{yz}x+R_{zx}y$ , $\;\;\langle R_{xy}v,w\rangle=\langle R_{vw}x,y\rangle\;\;$ wobei alle Vektoren Elemente von sind $T_{p}M$ .

Variation gegenüber RabcdRabcdR_{abcd}? Wie berechnet man∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

phy_math

QMechaniker

phy_math

Antworten (1)

JG

phy_math

JG

phy_math

Cinaed Simson

Variation des Begriffs wie ∂RabRab∂Rabcd∂RabRab∂Rabcd\frac{\partial R_{ab} R^{ab}}{\partial R_{abcd}}, ∂RabcdRabcd∂Refgh∂RabcdRabcd∂Refgh\frac{\partial R_ {abcd} R^{abcd}}{\partial R_{efgh}}

Problem bei der Berechnung des Krümmungstensors der nnn-dimensionalen Kugel

Nicht-Null-Komponenten des Riemann-Tensors für die Schwarzschild-Metrik

Ableitung des Weyl-Tensors

Berechnung des Einstein-Tensors für schwaches Gravitationsfeld

Wie kann man beweisen, dass ein Null-Weyl-Tensor keine Lichtablenkung vorhersagt?

Zweifel an der Ableitung der geodätischen Gleichung

5D-Ricci-Krümmung

Killing-Tensor und Riemann-Tensor-Identität

Bewegungsgleichung von D=3D=3D=3 Lorentz Chern-Simons Aktion