Variation des Begriffs wie ∂RabRab∂Rabcd∂RabRab∂Rabcd\frac{\partial R_{ab} R^{ab}}{\partial R_{abcd}}, ∂RabcdRabcd∂Refgh∂RabcdRabcd∂Refgh\frac{\partial R_ {abcd} R^{abcd}}{\partial R_{efgh}}

Wir beginnen damit, dies zu bemerken

$$\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial\left(R_{caeb}g^{ce}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial\left(R_{cdef}\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}\right)}{\partial R_{cdef}},$$ schlägt eine Antwort in der Art von vor$\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}$. Aber aufgrund der Antisymmetrieeigenschaften des Riemann-Tensors gibt es mehr als eine Schreibweise$R_{ab}$als Widerspruch zu$R_{cdef}$mit einem Tensor.

Beim Austausch brauchen wir eine Antisymmetrie$c$mit$d$, was eine Antwort in der Art von vorschlägt$\frac{1}{2}\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}-\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}g^{de}\right)$. Aber das kann auch nicht ganz stimmen: Wir brauchen auch eine Antisymmetrie beim Vertauschen$e$mit$f$, was eine Antwort in der Art von vorschlägt$\frac{1}{4}\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}-\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}g^{de}-\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{e}g^{cf}+\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{e}g^{df}\right)$. Aber wir brauchen noch$cdef\to efcd$eine Symmetrie sein, die das Endergebnis liefert

$$\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}=X_{ab}^{cdef}:=\frac{1}{8}\left(\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{d}\right)g^{ce}-\left(\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{f}+\delta_{a}^{f}\delta_{b}^{c}\right)g^{de}-\left(\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{e}+\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{d}\right)g^{cf}+\left(\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{e}+\delta_{a}^{e}\delta_{b}^{c}\right)g^{df}\right).$$

Beachten Sie, dass jeder Begriff hat$ab$als niedrigere Indizes und$cdef$als obere Indizes.

Nach der Produktregel

$$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}}R^{ab}+R_{ab}\frac{\partial R^{ab}}{\partial R_{cdef}}.$$ Wir können die Höhen ändern$a,\,b$im zweiten Term, d.h. $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=2R^{ab}X_{ab}^{cdef}.$$ Ausdrücke wie$R^{ab}\delta_{a}^{d}\delta_{b}^{f}g^{ce}=g^{ce}R^{df}$geben $$\frac{\partial\left(R_{ab}R^{ab}\right)}{\partial R_{cdef}}=\frac{1}{2}\left(g^{ce}R^{df}-g^{de}R^{cf}-g^{cf}R^{de}+g^{df}R^{ce}\right).$$ Beachten Sie, dass jeder Begriff hat$cdef$als obere Indizes und$ab$existieren auf der rechten Seite nicht, da es sich um auf der linken Seite herausgezogene Dummy-Indizes handelt.

Stellen Sie sich für die zweite Ableitung vor, wir wollten stattdessen$\frac{\partial \left(V_aV^a\right)}{\partial V_b}$für einen Vektor; Die Antwort wäre$2V^b$, was eine Antwort wie vorschlägt$2R^{efgh}$. Dies hat bereits die richtigen Eigenschaften, also sind wir fertig.

Aus dem hilfreichen Kommentar @JG,

$$\begin{align} \frac{\partial (R_{ab} R^{ab})}{\partial R_{cdef}} = 2 R^{ab} X^{cdef}_{ab}, \qquad X^{cdef}_{ab} = \frac{\partial R_{ab}}{\partial R_{cdef}} \end{align}$$

Versuchen Sie zu rechnen

$$\begin{align} R_{\mu\nu} &= R_{abcd} g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c \\ & = \frac{1}{8} R_{abcd} (g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{bd} \delta_\mu^c \delta_\nu^a - g^{ad} \delta_\mu^b \delta_\nu^c - g^{ad} \delta_\mu^c \delta_\nu^b - g^{bc} \delta_\mu^d \delta_\nu^a - g^{bc} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{ac} \delta_\mu^d \delta_\nu^b + g^{ac} \delta_\mu^b \delta_\nu^d) \end{align}$$ wobei ich (a,b) und (c,d) antisymmetrisierte und die Paare (ab, cd) symmetrisierte und symmetrisierte $\mu,\nu$in seitlichen Klammern

Also das vermute ich

$$\begin{align} X^{abcd}_{\mu\nu} =\frac{\partial R_{\mu\nu}}{\partial R_{abcd}} =\frac{1}{8} (g^{bd} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{bd} \delta_\mu^c \delta_\nu^a - g^{ad} \delta_\mu^b \delta_\nu^c - g^{ad} \delta_\mu^c \delta_\nu^b - g^{bc} \delta_\mu^d \delta_\nu^a - g^{bc} \delta_\mu^a \delta_\nu^c + g^{ac} \delta_\mu^d \delta_\nu^b + g^{ac} \delta_\mu^b \delta_\nu^d) \end{align}$$

$$\begin{align} \frac{\partial R_{\mu\nu} R^{\mu\nu}}{\partial R_{abcd}} & = R^{a[c} g^{b]d} + R^{b[d} g^{a]c} =\frac{1}{2} \left( R^{ac} g^{bd} - R^{bc} g^{ad} - R^{ad} g^{cb} + R^{bd} g^{ca}\right) \end{align}$$

Habe ich recht?