5D-Ricci-Krümmung

Der Cartan-Formalismus ist ideal, um sehr allgemein zu arbeiten, man muss sogar die Dimension der Raumzeit festlegen. Ich beginne mit dem metrischen Kaluza-Klein- Ansatz , nämlich

$$\mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \mathrm{d}x^\nu - e^{2\sigma}\left[\mathrm{d}\psi + A_{\mu}\mathrm{d}x^\mu \right]$$

Wo$A$ist ein Potenzial$1$-form,$\sigma$ist ein Skalarfeld (das Dilaton) und$g_{\mu\nu}$ist die Metrik der rein vierdimensionale Teil der Metrik. Wir beginnen mit der Definition einer orthonormalen Basis,

$$\omega^\psi = e^\sigma \left[ \mathrm{d}\psi + A\right]$$

und wir bezeichnen die Basis für die$g$metrisch als$\omega^a$. Unter Berücksichtigung der Renditen externer Derivate,

$$\mathrm{d}\omega^\psi = e^{\sigma} \sigma_{,a} \omega^a \wedge \omega^\psi + e^\sigma F$$

Wo$F=\mathrm{d}A$ist der$2$-Form Feldstärke. Die Komponenten der Spinverbindung können wir aus Cartans erster Gleichung (mit torsionsloser Bedingung) ablesen,

$$\mathrm{d}\omega^a = \theta^a_b \wedge \omega^b$$

$$\therefore \theta^\psi_a=\sigma_a \omega^\psi + \frac{1}{2}e^\sigma F_{ab} \omega^b \quad \theta^a_b = \theta^a_{0b} +\frac{1}{2}e^\sigma F^a_b \omega^\psi$$

Wo$\theta_0$bezieht sich auf die reine 4D-Spin-Verbindung. Der Ricci-Tensor ist durch Cartans Gleichung gegeben,

$$R^a_b = \mathrm{d}\theta^a_b + \theta^a_c \wedge \theta^c_b$$

Nach unglaublich langwierigen Manipulationen erhalten wir,

$$R^a_b=\mathrm{d}\theta^a_{0b} +\frac{1}{2}e^\sigma \left[ \sigma_{,c}\omega ^c\wedge \omega^\psi F^a_b + F^a_{b,c}\omega^c \wedge \omega^\psi + F^a_b \left(\sigma_{,c} \omega^c \wedge \omega^\psi + e^\sigma F \right)\right] \\ + \theta^a_{0c} \wedge \theta^c_{0b} + \frac{1}{2}e^\sigma \left[ \theta^a_{0c}\wedge F^{c}_{b} \omega^\psi +F^a_c \omega^\psi \wedge \theta^c_{0b} \right]\\ + \frac{1}{2}\sigma^{,a}\omega^\psi \wedge e^\sigma F_{bc}\omega^c + \frac{1}{2}F^a_c \omega^c \wedge \sigma_{,b}\omega^\psi + \frac{1}{4}e^{2\sigma}F^a_c \omega^c \wedge F_{bd}\omega^d$$

Der$R^\psi_a$kann ähnlich gefunden werden, und die Riemann-Komponenten sind gegeben durch

$$R^a_b \sim R^a_{bcd}\omega^c \wedge \omega^d$$ Wenn wir die übliche Kontraktion über Indizes nehmen, kommen wir schließlich zum Ricci-Tensor,

$$R_{ab}=R_{0ab}-\nabla_a \nabla_b \sigma -\nabla_a \sigma \nabla_b \sigma + \frac{1}{2}e^{2\sigma}F_{ac}F^c_b$$

und Kontraktion mit der Metrik ergibt den Ricci-Skalar,

$$R_5=R_0 +\frac{1}{4}e^{2\sigma}F^2-2\square \sigma -2(\nabla \sigma)^2$$

Das Einstecken in die Einstein-Hilbert-Aktion und die Annahme, dass die fünfte Dimension periodisch mit Periode ist$L$:

$$S=-\frac{L}{16\pi G}\int \mathrm{d}^4 x \, \sqrt{g} \, e^\sigma\left[ R_{\mathrm{4D}} +\frac{1}{4}e^{2\sigma}F^2\right]$$

Wenn wir den Dilaton auf eine Konstante setzen, reduziert sich die Wirkung auf reines Einstein-Maxwell.

Während die Antwort von @ JamalS wahrscheinlich eine strengere Methode ist, kann viel gesagt werden, wenn man sich einfach die Symmetrien der KK-Reduktion ansieht. Im Standard-KK-Bild ist die Metrik in$D=5$Ist

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu - e^{2\sigma} \left( d t + A_\mu dx^\mu \right)^2$$ Reduzieren $R_5 \to R_4$, Wir notieren das $\sigma$ist ein Skalar von 4 Dimensionen und $A_\mu$ist ein Eichfeld. Die Spursymmetrie entspricht der lokalen Neudefinition des Ursprungs auf dem Kompaktierten $S^1$, $t \to t+\lambda$, $A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \lambda$. Nun sind die Massendimensionen der Mengen zur Hand $[\sigma]=[A_\mu]=[g_{\mu\nu}]=0$, während $[R_4]=2$. Einfache Dimensionsanalyse und Eichinvarianz impliziert $$\int dt d^4 x \sqrt{g_5} R_5 = 2\pi R \int d^4 x \sqrt{g} \left[ a R_4 + \frac{b}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + c (\nabla \sigma)^2 \right]$$ gegebenenfalls wurden Teile integriert, um die Form zu reduzieren. Die verbleibenden dimensionslosen Größen $a$, $b$, Und $c$können im Allgemeinen Funktionen von sein $\sigma$, aber nicht $A_\mu$(aufgrund von Eichinvarianz)

Mehr kann über diese Größen gesagt werden, wenn man sich einige Skalierungsargumente ansieht. Skalierung zum Beispiel$t \to \lambda t$,$A_\mu \to \lambda A_\mu$Und$e^{2\sigma} \to \lambda^{-2} e^{2\sigma}$Blätter$ds^2$unverändert. Unter der gleichen Änderung$R \to \lambda R$,$F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \to \lambda^2 F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$Und$\nabla_\mu \sigma \to \nabla_\mu \sigma$. Da aber die gesamte Aktion gleich bleiben muss, müssen wir haben$a \to \lambda^{-1} a$,$b \to \lambda^{-3} b$Und$c \to \lambda^{-1} c$. Dies behebt die$\sigma$Abhängigkeit dieser Größen als

$$a \propto e^\sigma,~b \propto e^{3\sigma},~c \propto e^\sigma$$ Somit haben wir $$\int dt d^4 x \sqrt{g_5} R_5 = 2\pi R \int d^4 x \sqrt{g} e^\sigma \left[ \alpha R_4 + \frac{\beta }{4} e^{2\sigma} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \gamma (\nabla \sigma)^2 \right]$$ wo jetzt $\alpha$, $\beta$, Und $\gamma$sind nur Zahlen. Diese können nun behoben werden, indem Sonderfälle z $ds^2$. Zum Beispiel, wenn $A_\mu = \sigma = 0$, wir finden $R_5 = R_4$und daher $\alpha = 1$. Ähnliche Methoden können zur Behebung verwendet werden $\beta$Und $\gamma$.