Zweifel an der Ableitung der geodätischen Gleichung

Question

Zweifel an der Ableitung der geodätischen Gleichung

Physik Lama

Meine Frage ist ziemlich einfach, hat aber vorher einige nervige Aufbauten:

Einführung

Wenn man die geodätische Gleichung beginnend mit der Extremisierung der Eigenzeit entlang eines Pfades finden möchte , kommt es darauf an, Extrema von zu finden

τ = \int \sqrt{- G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D λ} \frac{D X^{v}}{D λ}} D τ

$\tau =\int \sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda}} d\tau$ Was, wie in Carrolls GR-Buch gezeigt wird, dem Finden der Extrema von entspricht

ICH = \frac{1}{2} \int G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} D τ

$I=\frac{1}{2}\int g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}d\tau$ Was wir nun wollen, ist für die Variation dieses Integrals,

δ I

$\delta I$ , verschwinden. Finden

δ I

$\delta I$ , müssen wir jeden Teil einzeln variieren:

δ ICH = \frac{1}{2} \int δ (G_{μ v}) \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} + G_{μ v} δ (\frac{D X^{μ}}{D τ}) \frac{D X^{v}}{D τ} + G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D τ} δ (\frac{D X^{v}}{D τ})

$\delta I = \frac{1}{2}\int \delta (g_{\mu\nu})\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}+g_{\mu\nu}\delta(\frac{dx^{\mu}}{d\tau})\frac{dx^{\nu}}{d\tau}+g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})$

Frage

An dieser Stelle der Herleitung habe ich versucht, eine Abkürzung mit dem letzten Term im Integral zu finden:

G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D τ} δ (\frac{D X^{v}}{D τ}) = G_{v μ} \frac{D X^{μ}}{D τ} δ (\frac{D X^{v}}{D τ}) = G_{v μ} δ (\frac{D X^{v}}{D τ}) \frac{D X^{μ}}{D τ}

$g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})=g_{\nu\mu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})=g_{\nu\mu}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})\frac{dx^{\mu}}{d\tau}$

Ich habe die Tatsache ausgenutzt $g$ ist symmetrisch (und die Multiplikation ist kommutativ :D). Vertauschen der Summationsindizes am letzten Ausdruck, $\mu\to\nu$ , Und $\nu\to\mu$ (Dies ist gültig, da es sich nur um Dummy-Indizes handelt; ihre Namen spielen keine Rolle), wir haben:

G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D τ} δ (\frac{D X^{v}}{D τ}) = G_{μ v} δ (\frac{D X^{μ}}{D τ}) \frac{D X^{v}}{D τ}

$g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\delta(\frac{dx^{\nu}}{d\tau})=g_{\mu\nu}\delta(\frac{dx^{\mu}}{d\tau})\frac{dx^{\nu}}{d\tau}$

Zum Glück wird unsere Variante etwas einfacher:

δ ICH = \frac{1}{2} \int δ (G_{μ v}) \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} + 2 G_{μ v} δ (\frac{D X^{μ}}{D τ}) \frac{D X^{v}}{D τ}

$\delta I = \frac{1}{2}\int \delta (g_{\mu\nu})\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}+2g_{\mu\nu}\delta(\frac{dx^{\mu}}{d\tau})\frac{dx^{\nu}}{d\tau}$

Wenn ich jedoch mit dieser Variante arbeite (in Teilen integrieren, alle üblichen Geschäfte erledigen), komme ich nicht zur richtigen geodätischen Gleichung ... Also bin ich irgendwie gezwungen zu dem Schluss, dass das, was ich getan habe, falsch ist. Kann mir jemand helfen, indem er darauf hinweist, wo ich in meiner "Verknüpfung" falsch liege? Vielen Dank im Voraus :)

Sebastian

Alles, was Sie getan haben, sieht vollkommen korrekt aus; Ich würde einfach Ihre Algebra überprüfen. Merkst du dir das unbedingt

δ g_{μ ν} = δ x^{σ} \partial_{σ} g_{μ ν}

$\delta g_{\mu\nu} = \delta x^\sigma \partial_\sigma g_{\mu\nu}$ Und

d g_{μ ν} / d τ = (d x^{σ} / d τ) \partial_{σ} g_{μ ν}

$dg_{\mu\nu}/d\tau = (dx^\sigma/d\tau) \partial_\sigma g_{\mu\nu}$ ?

gj255

Könnten Sie die Antwort mit dem Rest Ihrer Berechnung bearbeiten? Für mich sieht es bisher gut aus. Ein weiterer Trick, den Sie möglicherweise vermissen, ist dieser

2 {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν} \partial_{ν} g_{μ ρ} = {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν} \partial_{ν} g_{μ ρ} + {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν} \partial_{μ} g_{ν ρ}

$2\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \partial_\nu g_{\mu \rho} = \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \partial_\nu g_{\mu \rho} + \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \partial_\mu g_{\nu \rho}$ .

Antworten (1)

Zweifel an der Ableitung der geodätischen Gleichung

Alles, was Sie getan haben, sieht vollkommen korrekt aus; Ich würde einfach Ihre Algebra überprüfen. Merkst du dir das unbedingt $\delta g_{\mu\nu} = \delta x^\sigma \partial_\sigma g_{\mu\nu}$ Und $dg_{\mu\nu}/d\tau = (dx^\sigma/d\tau) \partial_\sigma g_{\mu\nu}$ ?
Könnten Sie die Antwort mit dem Rest Ihrer Berechnung bearbeiten? Für mich sieht es bisher gut aus. Ein weiterer Trick, den Sie möglicherweise vermissen, ist dieser $2\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \partial_\nu g_{\mu \rho} = \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \partial_\nu g_{\mu \rho} + \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \partial_\mu g_{\nu \rho}$ .

Physik Lama · Answer 1

Entschuldigung an alle, es scheint, dass das, was ich getan habe, richtig war! Ich habe den praktischen Trick, der von gj255 in den Kommentaren erwähnt wurde, einfach nicht angewendet (um ein paar Zeilen nach dem zu verwenden, was ich hatte):

2 \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} \partial_{v} G_{μ ρ} = \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} \partial_{v} G_{μ ρ} + \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} \partial_{μ} G_{v ρ}

$2\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}\partial_{\nu}g_{\mu\rho}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}\partial_{\nu}g_{\mu\rho}+\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}\partial_{\mu}g_{\nu\rho}$ Damit kommt das Ergebnis raus :)

Ironischerweise ist dieser Trick so etwas wie das Gegenteil meiner Abkürzung (er "repariert", dass ich die Reihenfolge ein wenig geändert habe), also war es irgendwie nutzlos, hier schlau zu sein!

Ja, das ist vollkommen richtig! Natürlich hätte Ihr ursprüngliches Ergebnis die ganze Zeit die richtige Antwort gegeben (dh die richtige Bewegung); es ist nur so, dass wir es vorziehen, dass die Verbindung in ihren oberen Indizes symmetrisiert ist.

Zweifel an der Ableitung der geodätischen Gleichung

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Sebastian

gj255

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