Geodätische Gleichungen über Variationsprinzip

Ihre Aktion ist:

$$S[x] = -m\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}} d\lambda$$ und man muss sich durchsetzen$\delta S=0$mit den Einschränkungen$\delta x(\lambda_0) =\delta x(\lambda_1) =0$, das bedeutet, dass die betrachteten Kurven im Definitionsbereich von$S$feste Endpunkte haben.

Berechnen$\delta S$musst du ersetzen$x$für$x+ \epsilon \delta x$(So$\frac{dx}{d\lambda}$muss ersetzt werden für$\frac{dx}{d\lambda} + \epsilon\frac{d \delta x}{d\lambda}$) und schließlich die Ableitung bzgl. zu berechnen$\epsilon$für$\epsilon=0$.

$$\delta S[x] = \frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0} S[x+ \epsilon \delta x]\:.$$

Die Berechnung führt zu (unter der Annahme, dass$g$und die Kurven sind$C^1$, diese Kurven auf dem Kompakt definiert$[\lambda_0,\lambda_2]$man kann das Symbol des Integrals getrost mit dem von vertauschen$\epsilon$Ableitung, im Wesentlichen durch einen bekannten Satz von Lebesgue)

$$\delta S[x] = -\frac{m}{2}\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\frac{- \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \delta x^\delta \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} - 2g_{\alpha\beta} \frac{d \delta x^\alpha}{d\lambda}\frac{d x^\beta}{d\lambda}}{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda\:.$$ Beachte das$x$erscheint in$g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}(x)$, und es entsteht der Beitrag$\frac{\partial g_{\mu\nu}(x)}{\partial x^\sigma}\delta x^\sigma$Sie haben in Ihrer Frage erwähnt.

Der Nenner im Integral verschwindet nicht, da wir unsere Kurve in der Klasse der zeitähnlichen Kurven variieren, die die beiden festen Endpunkte verbinden.

Durch partielle Integration erhält man:

$$\frac{2}{m}\delta S[x] = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\delta x^\delta\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda -\int_{\lambda_0}^{\lambda_1} \delta x^\alpha\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\alpha\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} d\lambda + [...]\delta x^\alpha(\lambda_1)-[...]\delta x^\alpha(\lambda_0)\:.$$ Die letzten beiden Terme können weggelassen werden, da sie durch Hypothese verschwinden. Wenn wir den Namen einiger summierter Indizes ändern, erhalten wir Folgendes:

$$\frac{2}{m}\delta S[x] = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\delta x^\delta\left[\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} -\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} \right]d\lambda\:.$$ Da die LHS bei jeder Wahl der Variante verschwindet$\delta x^\delta(\lambda)$, Wir schließen daraus$\delta S[x]=0$auf einer Kurve$x=x(\lambda)$ist gleichbedeutend mit der Anforderung, dass die besagte Kurve verifiziert: $$\frac{ \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \tfrac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\beta}}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} -\frac{d}{d \lambda}\frac{2g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\lambda} }{\sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}}} =0\:.\quad (1)$$ Wir können Parameter ändern und die richtige Zeit verwenden$d\tau$so dass: $$d\lambda \sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\, \tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}} = d\tau$$ und (1) wird zu: $$\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} -\frac{d}{d \tau}g_{\delta\beta} \frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.\quad (2)\:.$$ Erweitern der letzten Ableitung Ändern des Namens von$\beta$Zu$\mu$im letzten Semester: $$\frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} - \frac{\partial g_{\delta\beta}} {\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} -g_{\delta\mu} \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} =0\:.\quad \:.$$ Mit anderen Worten: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} - g^{\delta\mu} \frac{1}{2}\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\delta} \frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau} + g^{\delta\mu} \frac{\partial g_{\delta\beta}} {\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Umbenennen einiger Indizes: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(2\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Schließlich Ausbeutung$g_{\delta \beta}= g_{\beta\delta}$: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^\sigma}- \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Beachten Sie nun Folgendes: $$\frac{\partial g_{\delta \beta}}{\partial x^\sigma} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} = \frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} \frac{d x^\beta}{d\tau}\frac{d x^\sigma}{d\tau}=\frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau}$$ so kann die gefundene Identität umgeschrieben werden als: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{1}{2}g^{\mu\delta}\left(\frac{\partial g_{\delta \sigma}}{\partial x^\beta} + \frac{\partial g_{\beta \delta}}{\partial x^\sigma}- \frac{\partial g_{\sigma\beta}} {\partial x^\delta}\right) \frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:.$$ Wir haben festgestellt: $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\sigma_\beta}\frac{d x^\sigma}{d\tau}\frac{d x^\beta}{d\tau} =0\:,$$ wie gewünscht.

Hier gibt es zwei Definitionen von Geodäten.

1. lokal entfernungsminimierende Kurven Sie minimieren die Aktion, wie Sie es getan haben,

   $$\begin{equation} S(\gamma) = \int_a^b \sqrt{ g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} } dt = \int_a^b L dt \end{equation}$$ Die dieser Aktion zugeordnete Euler-Lagrange-Gleichung lautet $$\begin{equation} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu}= 0 \end{equation}$$

2. Kurven, auf denen der Tangentenvektor parallel transportiert wird. Sie minimieren die Aktion,

   $$\begin{equation} E(\gamma) = \int_a^b \frac{1}{2}g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} dt = \int_a^b \frac{1}{2}L^2 dt \end{equation}$$ durch die Euler-Lagrange-Gleichung $$\begin{equation} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} = -\frac{1}{L}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}} \frac{d}{dt}L \end{equation}$$ und erhalten Sie die Lösung (nach etwas Algebra) $$\begin{equation} \ddot{x}^{\lambda} + \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = 0 \end{equation}$$ Diese Kurvenparallel transportiert den Tangentenvektor.

Wir bemerken

$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} = 0\\ \frac{d}{dt}L = 0 \end{eqnarray}$$ löst in beiden Fällen Euler-Lagrange-Gleichungen. $\frac{d}{dt}L$behebt nur die Parametrierung. Bei einer Riemannschen Mannigfaltigkeit unterscheidet der Parameter die Länge der Kurve durch eine affine Transformation $$\begin{equation} S(\gamma_{sol}(t)) = \int_a^t L(\gamma_{sol}(\tau) d\tau = (t-a) L(\gamma_{sol}(t=0) ) \end{equation}$$ Deshalb geben einige Lehrbücher direkt die Länge (oder Eigenzeit) als Parameter an erster Stelle an.

Die zweite Definition wird manchmal als affine Geodäten bezeichnet . Während wir in GR in den meisten Fällen von affiner Geodäte sprechen, die eine lokal minimierende Kurve plus eine affine Parametrisierung ist.