Geodätische Gleichung von Euler - Lagrange

Lassen Sie uns zuerst die RHS machen. Dies gibt uns nur eine Ableitung der Metrik:

$$\frac{\partial L}{\partial x^\lambda}=\frac{1}{2}\partial_\lambda g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$$ Die erste Ableitung auf der linken Seite ist also im Wesentlichen eine Ableitung eines Quadrats $$\frac{\partial L}{\partial \dot x^\lambda}=g_{\mu\lambda}(x(\lambda))\dot x^\mu$$ wovon wir die Abhängigkeit gemacht haben $g$An $\lambda$klar für den nächsten Schritt. Nun differenzieren wir nach dem Kurvenparameter: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}[g_{\mu\lambda}(x(\lambda))\dot x^\mu]=\partial_\nu g_{\mu\lambda}\dot x^\mu\dot x^\nu+g_{\mu\lambda}\ddot x^\mu=\frac{1}{2}\partial_\nu g_{\mu\lambda}\dot x^\mu\dot x^\nu+\frac{1}{2}\partial_\mu g_{\nu\lambda}\dot x^\mu\dot x^\nu+g_{\mu\lambda}\ddot x^\mu$$ wobei wir im letzten Schritt den ersten Term auseinander geteilt und die Indizes neu angeordnet haben. Wenn wir alles zusammenfügen, erhalten wir $$g_{\mu\lambda}\ddot x^\mu=-\frac{1}{2}\left(\partial_\nu g_{\mu\lambda}+\partial_\mu g_{\nu\lambda}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}\right)\dot x^\mu\dot x^\nu=-\Gamma_{\lambda\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$$ wobei wir im letzten Schritt die Definition der Christoffel-Symbole mit drei niedrigeren Indizes verwendet haben. Kontrahieren Sie nun mit der inversen Metrik, um den ersten Index zu erhöhen und die Metrik auf der linken Seite aufzuheben. Wir erhalten $$\ddot x^\lambda=-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$$ wie zu zeigen war.

Hier ist eine Möglichkeit, die geodätischen Gleichungen aus den Euler-Lagrange-Gleichungen abzuleiten. Betrachten Sie zunächst ein natürliches Lagrange-System$(M,L)$, Wo$L\in C^\infty(TM)$. Lassen$g$eine Riemannsche Metrik sein. Angenommen, in unserem mechanischen System ist die Nettokraft Null. Das heißt, der Lagrange ist gleich der kinetischen Energie,

$$L(p,V_p)=\frac{1}{2}mg_p(V_p,V_p)$$ Insbesondere wenn $\gamma:[a,b]\to M$stellt ein Massenteilchen dar $m$dann ist seine kinetische Energie $\frac{1}{2}mg_{\gamma(t)}(\gamma^\prime(t),\gamma^\prime(t))$. Die Euler-Lagrange-Gleichungen werden abgeleitet, indem die kritischen Punkte der Aktion gefunden werden $$\mathcal A(\gamma)=\int_{\gamma(t)}g_{\gamma(t)}(\gamma^\prime(t),\gamma^\prime(t))dt.$$ Eine Standardtatsache der Riemannschen Geometrie ist, dass die kritischen Punkte dieses Funktionals (des Längenfunktionals) Geodäten sind.

Nun zurück zu Ihrer Frage nach der Ableitung der geodätischen Gleichung aus den Euler-Lagrange-Gleichungen. Ich glaube, das funktioniert, obwohl es vielleicht nicht die Idee ist, die Sie im Sinn hatten.

Betrachten Sie den obigen Aufbau, ein Lagrange-System$(M,L)$Wo$(M,g)$ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Lassen$(x^1,\dots,x^n)$bezeichnen ein Koordinatendiagramm an$M$. Lassen$(x^1,\dots,x^n,v^1,\dots,v^n)$Und$(x^1,\dots,x^n,\xi_1,\dots,\xi_n)$bezeichnen die induzierten Diagramme auf$TM$Und$T^\ast M$bzw. In diesen Koordinaten$L=K=\frac{1}{2}mg_{ij}v^iv^j\in C^\infty(TM)$. Unter Verwendung der Legendre-Transformation können wir das Hamilton-System betrachten$(T^\ast M,H)$Wo$H=\frac{\partial L}{\partial v^i}$ist der induzierte Hamiltonoperator. In Koordinaten bedeutet das$H=\frac{1}{2}g^{ij}\xi_i\xi_j$Wo$g^{ij}$ist die inverse Matrix von$g_{ij}$. Lassen$\gamma(t)=(x(t),\xi(t))$eine Kurve sein$T^\ast M$. Um die Hamilton-Gleichungen zu erfüllen, brauchen Sie das

$$\dot x^k=\frac{\partial H}{\partial \xi_k} \ \ \ \text{ and } \ \ \ \dot\xi_k=-\frac{\partial H}{\partial x^k}.$$ Sie können das überprüfen $\frac{\partial H}{\partial\xi_k}=g^{kj}\xi_j$Und $-\frac{\partial H}{\partial x^k}=-\frac{1}{2}\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}\xi_i\xi_j$. Mit diesem und der Tatsache, dass $\xi_k=g_{ak}\dot x^a$, wir können dies in die zweite der Hamilton-Gleichungen einsetzen, um das zu erhalten $$\dot\xi_k=\frac{\partial g_{ak}}{\partial x^q}\dot x^a\dot x^q+g_{ak}\ddot x^a=-\frac{1}{2}\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}g_{ia}g_{jp}\dot x^a\dot x^p$$ Seit $-\frac{\partial g^{ij}}{\partial x^k}g_{ia}g_{jp}=\frac{\partial g_{ap}}{\partial x^k}$, wird die obige Gleichung $$\frac{\partial g_{ak}}{\partial x^q}\dot x^a\dot x^q+g_{ak}\ddot x^a=\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ap}}{\partial x^k}\dot x^a\dot x^p.$$ Umordnen und Vereinfachen, das sehen wir $\gamma(t)$erfüllt die Hamilton-Gleichungen genau dann, wenn $$\ddot x^b=-\frac{1}{2}g^{kb}\left(\frac{\partial g_{ak}}{\partial x^p}\dot x^a\dot x^p+\frac{\partial g_{pk}}{\partial x^a}\dot x^a\dot x^p-\frac{\partial g_{ap}}{\partial x^k}\dot x^a\dot x^p\right).$$ Das ist genau die geodätische Gleichung. Ihre Behauptung folgt nun daraus, dass Bewegungen im Lagrange-System erfolgen $(M,L)$(dh Kurven, die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllen) entsprechen Bewegungen im Hamilton-System $(T^\ast M,H)$(dh Kurven, die die Hamilton-Gleichungen erfüllen).

Ich sollte auch darauf hinweisen, dass diese letzte Gleichung die letzte Zeile des Beweises aus dem Link in den Kommentaren ist, wenn Sie sich an die Definition von Christoffel-Symbolen erinnern.