Aktionsvariation mit Tötungsvektoren

Lassen u M → u M + D D τ k M .

Wie funktioniert S = M ∫ D τ − G M N u M u N Wechsel in erste Ordnung unter dieser Transformation, wenn k ist ein Tötungsvektor?

Mein Versuch:
Mit D D τ k M = ( ∇ l k M ) u l , Ich dachte

S ' = M ∫ D τ − G M N ( u M + D D τ k M ) ( u N + D D τ k N ) = M ∫ D τ − G M N ( u M u N + ( ∇ l k M ) u l u N + ( ∇ l k N ) u l u M )
Dann denke ich, dass ich verwenden kann ∇ ( l k M ) = 0 zu zeigen, dass S ' = S . Aber wie? Was ist der nächste Schritt?

Antworten (1)

TIPP: (hoffe ich)

Was Sie also meiner Meinung nach tun, ist Folgendes: Beginnen Sie damit, den metrischen Tensor mit den letzten beiden Termen zu multiplizieren, um den folgenden Ausdruck zu erhalten (offensichtlich steht dies unter einer Quadratwurzel und es gibt einen anderen Term. Ich habe ihn jedoch aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen)

( ∇ l G M N k M ) u l u N + ( ∇ l G M N k N ) u l u M .

Als nächstes würde ich den metrischen Tensor mit dem Killing-Vektor kontrahieren, um zu erhalten

( ∇ l k N ) u l u N + ( ∇ l k M ) u l u M .

Schließlich ändern die l Index in beiden Ausdrücken können wir dann die Killing-Gleichung verwenden

∇ μ k v + ∇ v k μ ≡ 0 ,

und von dort sollten Sie in der Lage sein, zu zeigen S = S ' .

Was meinst du mit "ähnlicher Betrieb auf der l Index"?
Also was ich meine ist ändern l Index als Wiederholung. Ich habe die Formulierung in der Antwort leicht aktualisiert.
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