Komponenten dualer Vektoren

(Dies ist eine enge Nacherzählung von Wald, Aufgabe 2.4b. Nicht für Hausaufgaben; nur Neugier und ein zunehmend alarmierender Verdacht, dass ich eigentlich nie etwas verstanden habe.)

Lassen$Y_1 ... Y_n$sei eine Ansammlung von glatten Vektorfeldern auf an$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit$M$so dass sie an jedem Punkt einen tangentialen Vektorraum bilden. Lassen$Y^{*1} ... Y^{*n}$sei die entsprechende duale Basis. Zeigen Sie, dass die Komponenten$(Y^{\gamma *})_\mu$von$Y^{\gamma *}$in jeder Koordinatenbasis erfüllen

$$\frac{\partial (Y^{\gamma *})_\mu}{\partial x^\nu} - \frac{\partial (Y^{\gamma *})_\nu}{\partial x^\mu} = \sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}(Y^{\alpha *})_\mu (Y^{\beta *})_\nu$$

Der Hinweis ist, dass Sie beide Seiten mit Vertrag abschließen sollten$(Y_\sigma)^\mu (Y_\rho)^\nu$. Vermutlich relevant ist auch, dass der Kommutator von$Y_\alpha$Und$Y_\beta$kann ausgedrückt werden$[Y_\alpha,Y_\beta] = \sum C^{\gamma}_{\;\alpha\beta} Y_\gamma$für einige$C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}$.

Jetzt stößt mein Gehirn bei diesem Problem auf einen Parsing-Fehler, insbesondere auf der linken Seite. Gedanken und Fragen:

1. So klingt für mich die Aufforderung: Wir führen einige Koordinaten mit zugehöriger Koordinatenbasis ein$\{v_\mu\}$so dass$Y_\gamma = \sum (Y_\gamma)^\mu v_\mu$mit Komponenten$(Y_\gamma)^\mu$in dieser Koordinatenbasis. Dann nehmen wir die entsprechende duale Basis$\{v^{\mu *}\}$und jeden ausdrücken$Y^{\gamma *}$als$Y^{\gamma *} = \sum (Y^{\gamma *})_\mu v^{\mu *}$. Und diese$(Y^{\gamma *})_\mu$Komponenten sind, was wir in dem Problem haben. Aber... was passiert jetzt? Ich verstehe nicht, was es bedeutet, mit dem oben Genannten einen Vertrag abzuschließen$(Y_\sigma)^\mu (Y_\rho)^\nu$wenn diese Komponente in einer partiellen Ableitung vorliegt, wie es in der LHS der Fall ist. Da es sich um Tangentialräume handelt, sollte die Ableitung selbst als Basisvektor in der Koordinatenbasis genommen werden?

2. Beim Versuch, die RHS zu kontrahieren, bekomme ich Folgendes:

$$\sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta}\sum_\mu (Y^{\alpha *})_\mu (Y_\sigma)^\mu \sum_\nu(Y^{\beta *})_\nu (Y_\rho)^\nu$$

Nun für jeden Koordinatenbasisvektor$\{v_\nu\}$und dualer Vektor aus der entsprechenden dualen Basis$\{v^{\mu *}\}$, wir haben$v^{\mu *} (v_\nu) = \delta^{\mu}_{\;\nu}$, und somit

$$Y^{\mu *} (Y_\nu) = \delta^{\mu}_{\;\nu} = \sum_\kappa (Y^{\mu *})_\kappa v^{\kappa *} \sum_\eta (Y_{\nu})^\eta v_{\eta} = \sum_\kappa (Y^{\mu *})_\kappa (Y_{\nu})^\kappa$$

Also reduziert sich die RHS nur auf

$$\sum_{\alpha,\beta} C^{\gamma}_{\;\;\alpha\beta} \delta^{\alpha}_{\;\sigma} \delta^{\beta}_{\;\rho} = C^{\gamma}_{\;\;\sigma\rho}$$

Ebenso ist mir ab hier nicht klar, wie ich weiter vorgehen soll. Ein ehemaliger Physikprofessor riet: „Entspann dich und lass dich von der Mathematik tragen“, aber das scheint nicht zu funktionieren.

Also ... Gibt es hier etwas, das mir als Fehler oder Lücke in meinem Verständnis auffällt? Ich nehme an, es gibt einen methodischen Weg, dies zu tun, aber ich kann es nicht begreifen. Wäre jemand so freundlich, einen Hinweis zu geben, wie man weitermachen kann?