"Einfacher Weg", um die Killing-Vektorfelder herauszufinden?

Gibt es eine Möglichkeit, die Killing-Vektorfelder einer bestimmten Metrik schnell zu berechnen?

Sicher kann ich raten, wenn ich mir die Metrik der Symmetrien anschaue und dann einige davon errate, aber zum Beispiel kann die Berechnung der Killing-Vektorfelder in 4D-Fällen ziemlich umständlich sein, besonders wenn die Metrik nicht diagonal ist.

Ich habe einen Weg gefunden, mit Mathematica explizit Killing-Gleichungen zu finden, aber jede weitere Lösung damit ist irgendwie sinnlos :\

Oder muss ich das von Hand machen? :\

Antworten (1)

Symmetrien treten möglicherweise nicht auf, wenn eine Metrik in einem bestimmten Satz von Koordinaten geschrieben wird. Im Allgemeinen gibt es also nicht viel zu sagen, außer der Tatsache, dass Sie die Killing-Gleichung, die eine Differentialgleichung ist, aufschreiben und dann nach Lösungen suchen können . Also "wie finde ich Tötungsvektoren?" gliedert sich auf "wie finde ich linear unabhängige Lösungen eines Systems von Differentialgleichungen?"

Zur Einsicht kann es hilfreich sein, einen Krümmungsskalar zu berechnen. Siehe Beispiele unter http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch07/ch07.html#Section7.1 .

Nicht nur Krümmungsskalar, sondern auch andere Krümmungsinvarianten (insbesondere für Ricci-Flachfälle). Der Grund: Der Killing-Vektor ist immer orthogonal zum Gradienten der skalaren Invariante.
Danke für die Hinweise zum Krümmungsskalar. Aber was ist, wenn der Ausdruck für Skalar wirklich kompliziert ist? Alles in allem muss ich PDEs selbst lösen :\ Ich dachte, dass es einen schnelleren Weg geben wird. Ich meine, ich kann immer nehmen, was andere gefunden haben, es in die Killing-Gleichung einsetzen und sehen, ob der Ausdruck 0 ist, aber ich habe irgendwie das Gefühl, dass ich auf diese Weise schummele: D
Wenn die Berechnungen nur kompliziert sind, verwenden Sie ein Computeralgebrasystem. Maxima ist kostenlos und sein Censor-Paket ist ziemlich gut.
Ich habe es mit Maple und Mathematica versucht (ich habe Zugriff darauf), und selbst für 2-Sphären bekomme ich Integralgleichungen: \ Ich werde nach Maxima sehen, danke :)
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