Tötungsvektoren der Schwarzschild-Metrik

Question

Tötungsvektoren der Schwarzschild-Metrik

Konstantin

Äußeres Schwarzschild-Metrik

D S^{2} = (1 - \frac{2 M}{R}) D T^{2} - (1 - \frac{2 M}{R})^{- 1} D R^{2} - R^{2} D θ^{2} - R^{2} {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}

$ds^2=\Big(1-\frac{2M}{r}\Big)dt^2- \Big(1-\frac{2M}{r}\Big)^{-1}dr^2-r^2 d\theta^2-r^2\sin^2\theta d\phi^2$

Ich wusste, dass es zwei Killing-Vektoren gibt, die mit der Schwarzschild-Metrik verbunden sind, $K^{(1)}=(1, 0, 0, 0)$ Und $K^{(2)}=(0, 0, 0, 1)$ .

Aber in einem Artikel wurde geschrieben, dass es in der Schwarzschild-Metrik vier Killing-Vektoren gibt.

K_{μ}^{(1)} = (1 - \frac{2 M}{R}) δ_{μ}^{T}

$K^{(1)}_\mu=\Big(1-\frac {2M}{r}\Big)\delta^t_\mu$

K_{μ}^{(2)} = R^{2} {Sünde}^{2} θ δ_{μ}^{ϕ}

$K^{(2)}_\mu=r^2\sin^2\theta \delta^\phi_\mu$

K_{μ}^{(3)} = R^{2} (Sünde ϕ δ_{μ}^{θ} + Sünde θ \cos θ \cos ϕ δ_{μ}^{ϕ})

$K^{(3)}_\mu=r^2(\sin \phi\delta^\theta_\mu+\sin\theta\cos\theta\cos\phi\delta^\phi_\mu)$

K_{μ}^{(4)} = R^{2} (\cos ϕ δ_{μ}^{θ} - Sünde θ \cos θ Sünde ϕ δ_{μ}^{ϕ})

$K^{(4)}_\mu=r^2(\cos \phi\delta^\theta_\mu-\sin\theta\cos\theta\sin\phi\delta^\phi_\mu)$

entsprechend Zeitverschiebungen und infinitesimalen räumlichen Rotationen.

Ich habe nicht verstanden, wie Tötungsvektoren definiert sind? Warum werden sie anders gefunden als klassische GR-Bücher? Was ist die Methode, um die Killing-Vektoren einer beliebigen Metrik zu erhalten?

Wenn die Metrik nicht davon abhängt $x^k$ Koordinate $K^\mu=\delta^\mu_k$ ist ein Tötungsvektor. Die kovarianten Komponenten, die sind $K_\mu=g_{\mu\nu}K^\nu=g_{\mu\nu}\delta^\nu_k$ .

K_{μ}^{(1)} = G_{μ v} δ_{k}^{v} = G_{k v} δ_{μ}^{v} = G_{T T} δ_{μ}^{T}

$K^{(1)}_\mu=g_{\mu\nu}\delta^\nu_k=g_{k\nu}\delta^\nu_\mu=g_{tt}\delta^t_\mu$

K_{μ}^{(2)} = G_{μ v} δ_{k}^{v} = G_{k v} δ_{μ}^{v} = G_{ϕ ϕ} δ_{μ}^{ϕ}

$K^{(2)}_\mu=g_{\mu\nu}\delta^\nu_k=g_{k\nu}\delta^\nu_\mu=g_{\phi\phi}\delta^\phi_\mu$

Das ist verständlich. Aber wie erhält man den zweiten und dritten Killing-Vektor? Wenn es sich um Rotationsvektoren handelt, um welche Achse wird eine Rotation durchgeführt?

Ich habe die Lösungen für gefunden $\xi_\theta$ , $\xi_\phi$ aus den Killing-Gleichungen für die Metrik der $2D$ Kugel.

Aber wie sie die willkürlichen Werte auswählen $A$ , $B$ , $C$ ist unklar.

spiridon_the_sun_rotator

Tötungsvektoren sind Lösungen der Gleichung

\nabla_{μ} ξ_{ν} + \nabla_{ν} ξ_{μ} = 0

$\nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu = 0$ , was aus der Erhaltung des metrischen Tensors folgt

g_{μ ν} (x + ξ_{μ} (x)) = g_{μ ν}

$g_{\mu \nu}(x + \xi_\mu (x)) = g_{\mu \nu}$

Cinaed Simson

Der Zeitkilling-Vektor wäre

K^{(1)} = \frac{\partial}{\partial t} .

$K^{(1)}=\frac {\partial} {\partial t}.$ Sie müssen Verweise auf beide Ausdrücke angeben, wenn Sie uns fragen, warum sich die beiden Sätze unterscheiden. Der Unterschied kann ein Übertragungsfehler, besondere Bedingungen, ein Missverständnis, unvollständiges Lesen usw. sein.

Antworten (2)

Tötungsvektoren der Schwarzschild-Metrik

Tötungsvektoren sind Lösungen der Gleichung $\nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu = 0$ , was aus der Erhaltung des metrischen Tensors folgt $g_{\mu \nu}(x + \xi_\mu (x)) = g_{\mu \nu}$
Der Zeitkilling-Vektor wäre $K^{(1)}=\frac {\partial} {\partial t}.$ Sie müssen Verweise auf beide Ausdrücke angeben, wenn Sie uns fragen, warum sich die beiden Sätze unterscheiden. Der Unterschied kann ein Übertragungsfehler, besondere Bedingungen, ein Missverständnis, unvollständiges Lesen usw. sein.

Prof. Legolasov · Answer 1

Jedes Vektorfeld, das erfüllt

L_{v} G_{μ v} = 0

$\mathcal{L}_v g_{\mu \nu} = 0$ mit

L

$\mathcal{L}$ ein Lie-Derivat ist ein Killing Field. Von ihm erzeugte infinitesimale Diffeomorphismen bewahren die Komponenten des metrischen Tensors, sodass sie ähnlich wie eine Gruppe von Isometrien bilden

I S O (3, 1)

$ISO(3,1)$ im Minkowski-Raum.

Erweiterung der Definition der Lie-Ableitung,

L_{v} G_{μ v} = v^{σ} \partial_{σ} G_{μ v} + G_{σ v} \partial_{μ} v^{σ} + G_{μ σ} \partial_{v} v^{σ} .

$\mathcal{L}_v g_{\mu \nu} = v^{\sigma} \partial_{\sigma} g_{\mu \nu} + g_{\sigma \nu} \partial_{\mu} v^{\sigma} + g_{\mu \sigma} \partial_{\nu} v^{\sigma}.$

Dies ist per Definition der Lie-Ableitung bereits ein Tensor. Wir können jedoch die partielle Ableitung durch die kovariante Ableitung ersetzen. In den normalen Koordinaten, $\Gamma_{\mu \nu}^{\sigma}$ alle verschwinden, also bekommen wir die gleiche Antwort. Da außerdem beide Objekte (mit partiellen und mit kovarianten Ableitungen) Tensoren sind und sie in einem Koordinatenrahmen gleich sind, müssen sie in allen Rahmen gleich sein. Deshalb,

L_{v} G_{μ v} = v^{σ} \nabla_{σ} G_{μ v} + G_{σ v} \nabla_{μ} v^{σ} + G_{μ σ} \nabla_{v} v^{σ} = \nabla_{μ} v_{v} + \nabla_{v} v_{μ} = 0.

$\mathcal{L}_v g_{\mu \nu} = v^{\sigma} \nabla_{\sigma} g_{\mu \nu} + g_{\sigma \nu} \nabla_{\mu} v^{\sigma} + g_{\mu \sigma} \nabla_{\nu} v^{\sigma} = \nabla_{\mu} v_{\nu} + \nabla_{\nu} v_{\mu} = 0.$

Das ist die Gleichung, die ein Killing-Vektorfeld erfüllen muss. Jetzt müssen Sie nur noch überprüfen, ob Ihre Felder diese Gleichung erfüllen.

Mike Stein · Answer 2

Tötungsvektoren sind nur infinitesimale Bewegungen, die die Metrik unverändert lassen. Mit anderen Worten Isometrien. Die vier, die Sie zu verwirren scheinen, sind die Zeitübersetzung (mit einer zusätzlichen Normalisierung im Vergleich zu Ihrer ursprünglichen) und die drei Isometrien der 3-Sphäre $r=constant$ entsprechend um die drehen $x$ , $y$ , Und $z$ Achsen. Die drei Drehungen sind natürlich nicht linear unabhängig, und aus ihnen können Sie Isometrien aus der Drehung um eine beliebige Achse erhalten.

Wie hängen die Killing-Vektoren mit der Rotation zusammen? $x$ , $y$ Achsen abgeleitet?
Sie sind die üblichen Winkelgeschwindigkeitsverschiebungsvektoren: Drehung um $z$ Achse $\Rightarrow$ $(v_x, v_y, v_z)= (y,-x,0)$ ; um $y$ Achse $(v_x, v_y, v_z)= (z,0,-y)$ ; alles in Polarkoordinaten ausgedrückt.

Tötungsvektoren der Schwarzschild-Metrik

Konstantin

spiridon_the_sun_rotator

Cinaed Simson

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Prof. Legolasov

Mike Stein

Konstantin

Mike Stein

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