Gibt es einen Birkhoff-ähnlichen Satz für axialsymmetrische Schwerefelder?

Wie wir wissen, wollen wir zur Herleitung der Schwarzschild-Lösung in GR die unbekannten Funktionen bestimmen$a,b$(Manchmal$c$) von

$$(ds)^2 = a(r,t)\;dt^2 - b(r,t)\; dr^2 - r^2d\Omega^2$$ oder $$(ds)^2 = a(r,t)\;dt^2 + 2b(r,t)\;drdt - c(r,t)\; dr^2 - r^2d\Omega^2$$ Wo $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta \; d\phi^2 \;$ist das übliche Linienelement der 2-Sphäre. Bei Anwendung auf die leeren Raumfeldgleichungen wo $G_{ab} \equiv 0$, besagt der Satz von Birkhoff, dass jede statische, kugelsymmetrische Lösung der Vakuumgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie bis auf eine Koordinatentransformation notwendigerweise die Schwarzschild-Lösung ist. Das endet im Grunde mit der Suche nach außen kugelsymmetrischen Lösungen in GR. Der nächste logische Schritt ist dann die Suche nach Innenraumlösungen, was ein ganz anderes Ballspiel ist.

Ich interessiere mich für axialsymmetrische Raumzeiten in GR. Der übliche Ansatz besteht darin, sich die Weyl-Metriken anzusehen (wie in den Kommentaren unten erwähnt) und pleite zu gehen.

Was mich verwirrt, ist der Versuch, eines der folgenden Linienelemente zu berücksichtigen

$$(ds)^2 = a(r,\theta)\;dt^2 + 2b(r,\theta)\;drdt - c(r,\theta)\; dr^2 - r^2d\Omega^2.$$

Das obige Linienelement ist auch axialsymmetrisch, richtig? In Bezug auf polare Kugelkoordinaten ist es symmetrisch zur Polarwinkelkoordinate.

Im Hinblick auf eine Raumzeit, die einen nichtsphärisch symmetrischen Körper für zB einen Planeten modelliert, hätte ich gedacht, dass dieses Linienelement besser geeignet ist als die allgemeine Weyl-Metrik. Ich habe jedoch noch nie eine Methode gesehen, die mit dem obigen Linienelement beginnt.

Frage Ist die Weyl-Lösung für axialsymmetrische Gravitationsfelder wie die Schwarzschild-Lösung für kugelsymmetrische Gravitationsfelder? Mit anderen Worten, gibt es einen Satz vom Birkhoff-Typ für axialsymmetrische Lösungen der Feldgleichungen von GR?