Was ist die Motivation der Physik für die Levi-Civita-Verbindung auf GR?

Obwohl die Links in den Kommentarabschnitten für Interessierte empfohlen werden, werde ich versuchen, eher ein heuristisches Argument für die Levi-Civita-Verbindung zu liefern. Wie das OP feststellt, ist die Levi-Civita-Verbindung eindeutig definiert, indem metrische Kompatibilität und Nulltorsion gefordert werden:

1. $g_{ij;c} = 0$

2. $v^i{}_{;j}u^j - u^i{}_{;j}v^j = [u,v]$

Wo$[u,v]$der Kommutator (Lie-Klammer) der beiden Vektoren ist$u$Und$v$. Beginnen wir mit der ersten Forderung.

1: Physikalisch gibt es keinen Unterschied zwischen Vektoren und Co-Vektoren; Obwohl sie aus unterschiedlichen mathematischen Kontexten stammen, beschreiben beide einfach Richtungen in der Raumzeit, und jede Richtung sollte gleich sein, unabhängig davon, ob sie durch einen Vektor oder einen Co-Vektor definiert ist. Daher ist es physikalisch sinnvoll, die kovarianten Ableitungen eines Vektors zu fordern$v^i$und ein Co-Vektor$u_i$immer die gleiche Richtung (Vektor/Co-Vektor) definieren$v^i$Und$u_i$Tun.

Die Identifizierung von Vektoren und Co-Vektoren kann mithilfe der durch den metrischen Tensor induzierten kanonischen Isometrie erfolgen, die üblicherweise durch den Prozess der Indexerhöhung/-senkung beschrieben wird:

$$v^i \sim u_i \quad\text{if and only if }\quad v^i = g^{ij}u_j.$$ Wir schreiben den Co-Vektor $u_i$befriedigend $u_i \sim v^i$als $v_i$. Der letzte Teil unseres Arguments besteht darin, die Verbindung auf dem Tangentenbündel zu lassen, $TM$, induzieren eine Verbindung auf dem Kotangentialbündel, $T^*M$. Dies geschieht, indem gefordert wird, dass die Verbindung in Bezug auf die Kontraktion natürlich wirkt: $$(v^iu_i)_{;j} = v^i{}_{;j}u_i + v^iu_{i;j}.$$ Wenn wir die Isometrie und die induzierte Verbindung kombinieren, finden wir $$\begin{align} u_{i;j}v^j = \left(g_{ik}u^k\right)_{;j}v^j = g_{ik;j}u^kv^j + g_{ik}u^k{}_{;j}v^j, \end{align}$$ aber da wir, wie argumentiert, das fordern möchten $u^k{}_{;j}v^j \sim u_{k;j}v^j$wir lassen die metrische Kontraktion im letzten Term den Index senken: $$u_{i;j}v^j = g_{ik;j}u^kv^j + u_{i;j}v^j.$$ Also klar $g_{ik;j}u^kv^j = 0$, und da dies für beliebige Vektoren gelten muss $u^k$Und $v^j$Wir müssen haben $g_{ik;j} \equiv 0$.

2: Die Sache mit der Torsion ist komplizierter, daher das Interesse an der Einstein-Cartan-Theorie. Wie aus den im Kommentarbereich bereitgestellten Links ersichtlich ist, hätte eine Torsion ungleich Null sicherlich messbare Auswirkungen. Da wir jedoch ein heuristisches Argument präsentieren möchten, warum wir uns zunächst dafür entscheiden würden, Nulltorsion zu fordern, kann ich mir keinen besseren Weg vorstellen, als die kovariante Ableitung und die Lie-Ableitung zu vergleichen.

Betrachten Sie daher eine Gruppenaktion auf unserer Mannigfaltigkeit, so dass ein Punkt$p$wird in einen Punkt geführt$q$:

$$x^\mu_p \mapsto x^\mu_q = x_p^\mu + \lambda v_p^\mu,$$ Wo $x_p^\mu$bezeichnen die Koordinatenfunktionen at $p$Und $v^\mu_p$ist ein Vektor bei $p$, Und $\lambda$ist sehr klein. Letztlich lassen wir $\lambda \to 0$da wir eine infinitesimale Gruppenaktion betrachten. Dann der Jacobi dieser Transformation, $J^\mu_\nu$, ist gegeben durch $$J^\mu_\nu = \delta^\mu_\nu + \lambda v^\mu{}_{,\nu},$$ also ein Vektor $u^\mu$verwandelt sich als $$u^\mu\rvert_p \mapsto u^\mu\rvert_q = \widetilde{u}^\mu\rvert_p + \lambda v^\mu{}_{,\nu}\widetilde{u}^\nu\rvert_p,$$ Wo $\widetilde{u}^\mu$ist der Vektor vor der Transformation. So finden wir $$u^\mu - \widetilde{u}^\mu = u^\mu\rvert_{x_p^\nu + \lambda v^\nu_p} - u^\mu\rvert_{x_p^\nu} - \lambda v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma\rvert_{x_p^\nu},$$ so dass $$\lim_{\lambda \to 0} \frac{u^\mu - \widetilde{u}^\mu}{\lambda} = u^\mu{}_{,\sigma}v^\sigma - v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma = [v,u].$$ Der erste Term im mittleren Ausdruck ergibt sich aus der Differenz zwischen dem nicht transformierten Vektor at $q$dazu bei $p$. Wenn die Gruppenwirkung in gewissem Sinne als "physikalisch" angesehen werden kann, können wir uns vielleicht darauf einigen, dass das Ergebnis die kovariante Ableitung von sein sollte $u_\mu$entlang $v^\sigma$: $$u^\mu{}_{,\sigma}v^\sigma \mapsto u^\mu{}_{;\sigma}v^\sigma.\tag{1}$$ Der zweite Begriff hingegen sagt uns, wie sich unsere Transformation im Laufe der Zeit verändert $u^\sigma$. Wenn die Transformation als "physikalisch" angesehen werden kann, können wir uns vielleicht darauf einigen, dass das Ergebnis die kovariante Ableitung sein sollte $$v^\mu{}_{,\sigma}u^\sigma \mapsto v^\mu{}_{;\sigma}u^\sigma.\tag{2}$$

Was meinen wir oben mit einer "physikalischen" Transformation? Wenn Sie einen Satz Lineale mit sich führen, die Vektoren definieren, dann ist die Änderung, wenn Sie sie parallel transportiert haben, wie oben durch die kovariante Ableitung gegeben. Dies repräsentiert$(1)$. Andererseits reisen diese Lineale als physikalische Objekte selbst durch die Raumzeit, und der Unterschied zwischen ihrer Bewegung und Ihrer Bewegung ist im infinitesimalen Fall auch durch die kovariante Ableitung gegeben. Dies repräsentiert$(2)$. Das heißt, wir berücksichtigen die Änderung zwischen dem durch das Lineal definierten ursprünglichen Vektor und dem durch den transportierten Vektor definierten Vektor, der die physikalischen Abmessungen unseres "Vektors"/Lineals kompensiert.

Sie kennen dies vielleicht als Lie-Ableitung eines Vektorfelds, das a priori kein kovarianter Ausdruck ist. Wenn man jedoch das Obige als Argument akzeptiert, warum es so sein sollte , können wir dies erreichen, indem wir die partiellen Ableitungen gegen kovariante Ableitungen austauschen, gemäß der Vorschrift des Äquivalenzprinzips, was genau eine Torsion von Null ergibt.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich es geschafft habe, das Argument sehr gut zu präsentieren, und es ist eindeutig so oder so nicht wasserdicht. Es könnte auch relevant sein, diese Seite der Nicht-Null-Torsion zu berücksichtigen.