Bitte definieren Sie, was eine geometrische Theorie ist. Nennen Sie auch Beispiele für Theorien, die nicht geometrisch sind.
Ohne formal zu werden, ist eine geometrische Theorie wie die Allgemeine Relativitätstheorie (GR) eine Theorie, bei der die Geometrie eine dynamische Variable ist.
In GR sind die dynamischen Variablen die Einheiten, die die Geometrie der Raumzeit definieren. Die grundlegende Entität ist die Metrik g, ein 4x4-Tensor (stellen Sie es sich als eine 4x4-Matrix vor, außer um 2 davon zu multiplizieren, oder einen mit einem 4-Vektor, müssen Sie darauf achten, dass die Indizes erhöht oder gesenkt werden, um mit dem Einstein übereinzustimmen Summationsregel Es gibt eine elegantere Formulierung unter Verwendung von Konzepten und Notationen der Differentialgeometrie). Die Metrik ist ein Tensor, aber keine Invariante, und ein anderes Koordinatensystem ergibt eine andere Metrik. Mit dem Koordinatensystem definiert die Metrik Entfernungen. Aus der Metrik werden geometrische Einheiten definiert, die die unveränderliche Raumzeitkrümmung und bestimmte Eigenschaften bestimmen. Die Metrik und die Geometrie sind nicht festgelegt, sie sind eine Variable, die von der Masse-Energie-Verteilung und natürlich von Anfangs- oder anderen Bedingungen abhängt.
Unterm Strich kann sich die Geometrie ändern und bestimmt, wie sich Materie und Strahlung in dieser Raumzeit bewegen. Die gesamte Dynamik betrifft also die Geometrie. Also eine geometrische Theorie.
Quantenfeldtheorie (QFT), spezielle Relativitätstheorie und klassische Feldtheorie sind keine geometrischen Theorien. Die Raumzeit ist a priori definiert und ändert sich nicht. Die Raumzeit ist in diesen Fällen einfach flache Raumzeit, auch Lorentz-Raumzeit genannt. Beachten Sie, dass QFT zusammen mit der Eichtheorie für elektromagnetische, starke und schwache Kräfte in der Physik verwendet wird. Es gibt immer noch keine akzeptierte Theorie, die Quantenphysik mit GR vereint, obwohl man QFT in einer festen GR-Raumzeit durchführen kann (die Raumzeit kann sich mit der Zeit ändern, aber nicht aufgrund der Quantenteilchen, die sie beeinflussen, daher ist es für kleine Quanteneffekte in GR in Ordnung , aber nicht für starke Gravitation und starke Wechselwirkungen).
Die klassische vorrelativistische Physik hat nur Raum (wobei die Zeit eine separate und unabhängige Koordinate ist, die sich nicht mit räumlichen Koordinaten vermischt), und sie ist auch nicht geometrisch, weil weder Raum noch Zeit dynamisch sind – sie stellen einen festen Hintergrund dar und ändern sich nicht . Der Raum ist ein galiläischer 3D-Raum.
Die String-Theorie ist in ihren verschiedenen Formen auch eine geometrische Theorie, mit Strings und anderen höherdimensionalen Objekten, die in einer Raumzeit definiert sind, die 10 oder 11 Dimensionen hat, und mit der geometrischen Theorie quantisiert. Es ist keine bewiesene Theorie.
Es gibt andere geometrische und nicht geometrische Theorien. Hoffentlich gibt Ihnen das eine Vorstellung davon, was gemeint ist.
Ihre nächste Suche sollte sein, zu verstehen, warum die Schwerkraft geometrisch ist und die anderen Kräfte nicht, und warum es so schwierig ist, sie zu kombinieren.
Sie können ein GR-Modell bereitstellen, für das keine Geometrie angegeben werden muss - daher handelt es sich nicht um eine "geometrische Theorie". Siehe Kloster Henri Poincare
John Rennie