Beweis des Satzes von Birkhoff

Question

Beweis des Satzes von Birkhoff

Benutzer126452

Ich habe eine Frage zum Beweis des Satzes von Birkhoff in Sean Carrolls Buch. Ich stecke an dem Teil fest, an dem er zeigt, dass es keine Kreuzbegriffe (in der Metrik) dazwischen gibt $(a,b)$ Und $(\theta, \phi)$ . (Nach seiner Notation hier $(a,b)$ sind die Koordinaten transversal zu den ''Schieferungskugeln'' und $(\theta, \phi)$ die Winkelkoordinaten in den Kugeln.)

Er beweist es, indem er argumentiert, dass die durch die partiellen Ableitungen definierten Vektorfelder bzgl $a$ , $b$ orthogonal zu denen sind, die durch die partiellen Ableitungen in Bezug auf definiert sind $\theta$ , $\phi$ .

Warum impliziert die zweite Aussage (über die partiellen Ableitungen) das Fehlen von Kreuztermen?

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Beweis des Satzes von Birkhoff

Ryan Unger · Answer 1

Wenn wir schreiben

D S^{2} = G = G_{μ v} D X^{μ} D X^{v},

$ds^2=g=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu,$ Wir definieren ein Tensorfeld

g

$g$ , deren Wirkung auf die Koordinatenvektorfelder

{\partial_{μ}}

$\{\partial_\mu\}$ wird von gegeben

G_{μ v} = G (\partial_{μ}, \partial_{v}) .

$g_{\mu\nu}=g(\partial_\mu,\partial_\nu).$ Um dies zu überprüfen, erinnern Sie sich

d x^{μ} (\partial_{ν}) = δ^{μ}_{ν}

$dx^\mu(\partial_\nu)=\delta^\mu{}_\nu$ . Erinnere dich daran

g

$g$ ist ein inneres Produkt, also

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ Und

\partial_{ν}

$\partial_\nu$ orthogonal zu sein bedeutet genau das

g_{μ ν} = 0

$g_{\mu\nu}=0$ . In Ihrem Fall,

g_{a θ} = g_{θ a} = 0

$g_{a\theta}=g_{\theta a}=0$ , zum Beispiel als

\partial_{a}

$\partial_a$ Und

\partial_{θ}

$\partial_\theta$ sind orthogonal.

Beweis des Satzes von Birkhoff

Benutzer126452

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Ryan Unger

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