Ich schätze, laut Mathematikdidaktik denken wir uns die Raumzeit zuerst als eine Menge und denken über Elemente ihrer Topologie nach und dann wird sie noch mit einer Metrik ausgestattet. Anscheinend ist es diese Riemannsche Metrik, die die Menschen für das Objekt halten, das die minimalen Symmetrieanforderungen der Raumzeit hervorgebracht hat.
1) Zum Verhältnis zwischen Riemannscher Geometrie und dem Hamiltonschen Formalismus der klassischen Mechanik: Bedeutet eine Einstellung für Riemannsche Geometrie immer schon, dass es möglich ist, eine symplektische Struktur im Kotangensbündel zu erfinden?
2) Gibt es einige natürlichere Strukturen, die Physiker versucht sein könnten, der Raumzeit zuzuordnen, was dann auch einschränkend sein könnte in Bezug auf die (Raumzeit-)Symmetriestrukturen? Ist das Konstruieren von Quantengruppensymmetrien (von nichtkommutativen Koordinatenalgebren, alla Connes?) genau das?
3) Ich habe eine Lösung für eine Differentialgleichung erhalten, die als Ergebnis einer Lagrange-Funktion mit einer Menge von gedacht werden kann Symmetrien (zB für einige Raumzeitmodelle). Kann diese Lösung auch das Ergebnis einer Lagrange-Funktion mit weniger Symmetrien sein? Hier frage ich im Grunde, inwieweit ich die Symmetrien aus einer Lösung oder bestimmten Sätzen der Lösung rekonstruieren kann. Es ist eine Art umgekehrtes Problem der Frage "Gibt es versteckte/gebrochene Symmetrien?".
Die folgende Beschreibung erfolgt aus der Sicht der Teilchen, dh die Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit bezieht sich auf die Konfigurations-Mannigfaltigkeit, auf der sich ein Teilchen bewegt.
Anmerkung: Meine falsche Antwort auf die erste Frage wurde nach dem Kommentar von Qmechanic korrigiert.
1) Es besteht keine Notwendigkeit für eine Metrik, um eine symplektische Struktur auf einem Kotangensbündel zu definieren. Ein Kotangensbündel hat eine kanonische symplektische Struktur, die von jeder Metrik unabhängig ist:
Wenn jedoch eine Metrik auf dem Konfigurationsverteiler gegeben ist, kann einem Kotangensbündel einer breiten Klasse von Verteilern (z. B. kompakten Verteilern) eine Kähler-Struktur gegeben werden. Im allgemeinen Fall ist kein expliziter Ausdruck bekannt. Es gibt jedoch implizite Ausdrücke für Sonderfälle wie Lie-Gruppen, siehe Beispiel von in Halls Vorlesungen . Der Vorteil einer Kähler-Struktur auf einem Kotangensbündel besteht darin, dass eine Quantisierung in Bezug auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wie im Fall eines flachen Raums ermöglicht wird.
2) Eine natürliche Struktur, die man auf eine Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit legen kann, ist ein Hauptbündel. In diesem Fall kann bei einer Metrik auf der Basismannigfaltigkeit und einer Verbindung auf dem Hauptbündel eine Poisson-Struktur auf diesem Hauptbündel definiert werden. In diesem Fall gibt es selbst im Fall eines verschwindenden Hamilton-Operators eine nichttriviale Dynamik, die durch die Beschränkungen bestimmt wird. Die klassischen Bewegungsgleichungen sind die Wong-Gleichungen eines farbigen Teilchens in einem Yang-Mills-Feld. Bitte beachten Sie die folgende Arbeit von: A. Duviryac für eine klare Darstellung.
Zum zweiten Teil der Frage: Die Quantisierung dieses Systems führt zu einer Quantendarstellung der Farbgruppe. Die Operatoralgebra dieser Darstellung hat die Struktur einer nichtkommutativen Mannigfaltigkeit. Das bekannteste Beispiel für diese Art von Algebra ist im Fall von , wobei diese Mannigfaltigkeit eine unscharfe Kugel ist .
3) Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das sich gleichmäßig auf einem Großkreis einer zweidimensionalen Kugel bewegt. Dies ist eine Lösung eines freien Teilchens auf einem Kreis, dessen Symmetrie ist , und auch eine Lösung eines freien Teilchens auf einer Kugel, deren Symmetrie ist .
QMechaniker