Einschränkung einer Lagrange-Funktion

Question

Einschränkung einer Lagrange-Funktion

fmc2

Ich frage mich, ob mir jemand bei den folgenden Fragen helfen kann.

Lassen $M$ sei die gegebene Minkowski-Raumzeit $f\in C^{\infty}(M) ; f(m)=x^{0}(m)$ , mit $\{x^{\mu}\}$ angesichts der dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit ein globales kartesisches Koordinatensystem ist $M\supset F_{t}=f^{-1}(t)$ relativ zu einem regulären Wert $t\in\mathbb{R}$ von $f$ , und angesichts der Lagrange-Funktion:

L \in C^{\infty} (T M)

$\mathcal{L}\in C^{\infty}(TM)$

L (X^{μ}, {\dot{X}}^{μ}) = - \sqrt{η_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}}

$\mathcal{L}(x^{\mu},\dot{x}^{\mu})=-\sqrt{\eta_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ Wo

η

$\eta$ ist die Minkowski-Metrik und

{x^{μ}}

$\{x^{\mu}\}$ ein globales kartesisches Koordinatensystem; was ist der Koordinatenausdruck der Lagrange-Funktion

F_{t}

$F_{t}$ :

(T ι_{T})^{*} L \in C^{\infty} (F_{T})

$(T\iota_{t})^{*}\mathcal{L}\in C^{\infty}(F_{t})$

Ich "weiß" aus anderen "Quellen", die ich finden sollte:

(T ι_{T})^{*} L (X^{ich}, {\dot{X}}^{ich}) = L \circ T ι_{T} (X^{ich}, {\dot{X}}^{ich}) = - \sqrt{1 - δ_{ich J} {\dot{X}}^{ich} {\dot{X}}^{J}}

$(T\iota_{t})^{*}\mathcal{L}(x^{i},\dot{x}^{i})=\mathcal{L}\circ T\iota_{t}(x^{i},\dot{x}^{i})=-\sqrt{1 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$ Ist es total falsch?

Lubos Motl

Das Endergebnis ist ausdrücklich dasselbe, was Sie zuvor geschrieben haben - als Annahme - unter der Annahme, dass dies der Fall ist

x^{0} = t

$x^0=t$ was es wahrscheinlich ist, wenn

x^{1, 2, 3} = x^{i}

$x^{1,2,3}=x^i$ der Index für die räumlichen Koordinaten ist und der Punkt auf zeitliche Ableitungen verweist. Das merkt man einfach

\partial x^{0} / \partial t = 1

$\partial x^0/\partial t = 1$ und ähnliche Nebensächlichkeiten. Wenn die Lagrange-Funktion eine Funktion ist, die in der gesamten 4D-Raumzeit definiert ist, ist sie auch in 3D-Untermannigfaltigkeiten davon definiert, warum sollte es hier einen Unterschied geben? Was ist hier das Problem?

fmc2

@LubošMotl Eigentlich ist der Lagrange auf dem Tangentenbündel definiert

T M

$TM$ von der Raumzeit und nicht von der Raumzeit

M

$M$ , darüber hinaus

{x^{μ}, {\dot{x}}^{μ}}

$\{x^{\mu},\dot{x}^{\mu}\}$ Und

{x^{i}, {\dot{x}}^{i}}

$\{x^{i},\dot{x}^{i}\}$ sind Koordinaten auf bzw.

T M

$TM$ Und

T F_{t}

$TF_{t}$ , während

t \in R

$t\in \mathbb{R}$ ist eine generische Nummer. In diesem Zusammenhang kann ich den Koordinatenausdruck von nicht explizit schreiben

T ι_{t}

$T\iota_{t}$ das sollte mich zu dem Ausdruck führen

- \sqrt{1 - δ_{i j} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j}}

$-\sqrt{1 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$ .

Jerry Schirmer

Es ist genau das, was Lubos gesagt hat. Durchdringen Sie den endlosen Wortschatz der Differentialgeometrie (der in seiner Kraft völlig übertrieben ist, wenn er auf den Minkowski-Raum angewendet wird), und Sie werden die Antwort sehen. Sobald Sie dies getan haben, können Sie zurückgehen und es differenziell geometrieifizieren, wenn Sie möchten. Der eigentliche Schlüssel ist, dass Ihre Volumenelemente und Metriken durch einfache Einbettungsbeziehungen in Beziehung stehen. Arbeiten Sie diese aus, und Sie haben die Antwort.

Antworten (2)

Einschränkung einer Lagrange-Funktion

Das Endergebnis ist ausdrücklich dasselbe, was Sie zuvor geschrieben haben - als Annahme - unter der Annahme, dass dies der Fall ist $x^0=t$ was es wahrscheinlich ist, wenn $x^{1,2,3}=x^i$ der Index für die räumlichen Koordinaten ist und der Punkt auf zeitliche Ableitungen verweist. Das merkt man einfach $\partial x^0/\partial t = 1$ und ähnliche Nebensächlichkeiten. Wenn die Lagrange-Funktion eine Funktion ist, die in der gesamten 4D-Raumzeit definiert ist, ist sie auch in 3D-Untermannigfaltigkeiten davon definiert, warum sollte es hier einen Unterschied geben? Was ist hier das Problem?
@LubošMotl Eigentlich ist der Lagrange auf dem Tangentenbündel definiert $TM$ von der Raumzeit und nicht von der Raumzeit $M$ , darüber hinaus $\{x^{\mu},\dot{x}^{\mu}\}$ Und $\{x^{i},\dot{x}^{i}\}$ sind Koordinaten auf bzw. $TM$ Und $TF_{t}$ , während $t\in \mathbb{R}$ ist eine generische Nummer. In diesem Zusammenhang kann ich den Koordinatenausdruck von nicht explizit schreiben $T\iota_{t}$ das sollte mich zu dem Ausdruck führen $-\sqrt{1 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$ .
Es ist genau das, was Lubos gesagt hat. Durchdringen Sie den endlosen Wortschatz der Differentialgeometrie (der in seiner Kraft völlig übertrieben ist, wenn er auf den Minkowski-Raum angewendet wird), und Sie werden die Antwort sehen. Sobald Sie dies getan haben, können Sie zurückgehen und es differenziell geometrieifizieren, wenn Sie möchten. Der eigentliche Schlüssel ist, dass Ihre Volumenelemente und Metriken durch einfache Einbettungsbeziehungen in Beziehung stehen. Arbeiten Sie diese aus, und Sie haben die Antwort.

Valter Moretti · Answer 1

Ihr Verdacht ist richtig: Es ist falsch! Zumindest so, wie es derzeit geschrieben steht.

Beginnen wir mit der Einbettung der Mannigfaltigkeit

{ich}_{T} : F_{T} ∋ P \mapsto P \in M .

$\imath_t : F_t \ni p \mapsto p \in M\:.$ Es induziert und eingebettet entsprechende Tangentenbündel:

T {ich}_{T} : T F_{T} ∋ (P, v) \mapsto (P, D {ich}_{T} (v)) \in T M

$T\imath_t : TF_t \ni (p,v) \mapsto (p, d\imath_t (v)) \in TM$ Letztere können nur die Vektoren erhalten, die sie berühren

F_{t}

$F_t$ als eingebettete Untermannigfaltigkeit in gesehen

M

$M$ . Es kann nichts über Komponenten aussagen, die nicht tangential sind

F_{t} \subset M

$F_t \subset M$ .

Wenn man ein Koordinatensystem festlegt $x^0,x^1,x^2,x^3$ angepasst an $F_t$ , dh $F_t$ fällt mit der Punktemenge mit zusammen $x^0=0$ (dein $x^0$ ist mein $t+x^0$ ), dann legt er/sie auch ein ähnliches Koordinatensystem bezugnehmend fest $TF_t$ Und $TM$ , wobei die natürlich zugehörigen Diagramme jeweils mit Koordinaten übergeben werden, $x^0,x^1,x^2,x^3,\dot{x}^0,\dot{x}^1,\dot{x}^2,\dot{x}^3$ In $TM$ Und $x^1,x^2,x^3,\dot{x}^1,\dot{x}^2,\dot{x}^3$ In $TF_t$ .

Bei unserer Wahl der Koordinaten erweisen sich die Basen als identisch und somit $T\imath_t$ bewahrt die $3$ Komponenten $\dot{x}^i$ . Mit anderen Worten, wie oben gesagt, kann jeder Vektor von transportiert werden $F_t$ Zu $M$ bleibt tangential zu $F_t$ als Untermannigfaltigkeit von gesehen $M$ :

T {ich}_{T} : T F_{T} ∋ (X^{1}, X^{2}, X^{3}, {\dot{X}}^{1}, {\dot{X}}^{2}, {\dot{X}}^{3}) \mapsto (0, X^{1}, X^{2}, X^{3}, 0, {\dot{X}}^{1}, {\dot{X}}^{2}, {\dot{X}}^{3}) \in T M

$T\imath_t : TF_t \ni (x^1,x^2,x^3,\dot{x}^1,\dot{x}^2,\dot{x}^3) \mapsto (0, x^1,x^2,x^3,0,\dot{x}^1,\dot{x}^2,\dot{x}^3) \in TM$

Deshalb

(T ι_{T})^{*} L (X^{ich}, {\dot{X}}^{ich}) = L \circ T ι_{T} (X^{ich}, {\dot{X}}^{ich}) = - \sqrt{0 - δ_{ich J} {\dot{X}}^{ich} {\dot{X}}^{J}}

$(T\iota_{t})^{*}\mathcal{L}(x^{i},\dot{x}^{i})=\mathcal{L}\circ T\iota_{t}(x^{i},\dot{x}^{i})=-\sqrt{0 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$

was sinnvoll ist, wenn man komplexe Werte berücksichtigen darf. Andernfalls sollten Sie die Lagrange-Funktion einschließlich eines absoluten Werts definieren (der Punkt ist, dass so wie sie ist die anfängliche, uneingeschränkte, $\mathcal{L}$ ist nicht definiert auf $TM$ , aber nur auf der Teilmenge der kausalen Elemente $(p,v) \in T_pM$ mit $v$ kausal).

Wenn Sie den Ausdruck erhalten möchten $\sqrt{1 - \delta_{ij}\dot{x}^{i}\dot{x}^{j}}$ , sollten Sie die zeitliche Komponente von Vektoren mithilfe eines Jet-Bündels fixieren $x^0$ zum Beispiel ... (Allerdings, um ganz ehrlich zu sein, kommt mir das alles so vor, als würde man eine Fliege mit einer Waffe töten.)

NACHTRAG: Wie ich in einem jetzt gelöschten Kommentar geschrieben habe, funktioniert jede differenzierbare Koordinatenfunktion $x^0$ in einem Koordinatenfeld auf einer Mannigfaltigkeit ist so, dass alle ihre Werte immer regulär sind. (In der Tat $dx^0|_p$ muss Element einer Basis sein $T_p^*M$ und daher kann es nicht verschwinden.) Es ist also nicht notwendig, es separat anzunehmen, wie Sie es in Ihrer Frage getan haben.

Danke, ich schätze deine Erklärung sehr. Das einzige, was ich nicht verstehe, ist die Verwendung eines Jet-Bundles rüber $x^{0}$ um die zeitliche Komponente zu fixieren, aber ich muss zugeben, dass ich mit Düsenbündeln nicht vertraut bin, und daher denke ich, dass eine kleine Studie mir alles verdeutlichen würde.

Tobias Dietz · Answer 2

Nach dem Satz der regulären Werte finden wir ein Diagramm auf $M$ so dass das Eintauchen $\iota_t: F_t \rightarrow M$ nimmt die Gestalt an $\iota_t (x^i) = (x^0_t, x^i)$ . Beachten Sie, dass $x^0$ ist eine feste Konstante und hängt nur vom Wert ab $t$ . Somit ist die Differenzierung bezüglich der ersten Variablen die Identität weiter $TM$ (und die wrt anderen Koordinaten ergibt $\dot x^i$ ) woraus die gesuchte Gleichung folgt.

können Sie bitte konkreter werden und mir die explizite Berechnung zeigen, die beteiligt ist, wenn Sie sagen: "Also ist die Differenzierung in Bezug auf die erste Variable die Identität an $TM$ (und die wrt anderen Koordinaten ergibt $\dot{x}^{i}$ ) woraus die gesuchte Gleichung folgt." Ich frage, weil ich vermute, dass die Differenzierung zum Finden $T\iota_{t}$ sollte bzgl. der getan werden $x^{i}$ An $F_{t}$ und deshalb $\frac{\partial x^{0}_{t}}{\partial x^{i}}=0$ .

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