Finden der richtigen Christoffel-Symbole in einer 2+1D Raumzeit

Question

Finden der richtigen Christoffel-Symbole in einer 2+1D Raumzeit

Josua

Ich versuche, die Christoffel-Symbole in einer 2 + 1D-Raumzeit mit der folgenden Metrik zu berechnen:

D S^{2} = N^{2} (\vec{R}) C^{2} D T^{2} - ϕ (\vec{R}) (D X^{1})^{2} - ϕ (\vec{R}) (D X^{2})^{2}

$ds^2 = N^2(\vec r)c^2dt^2-\phi(\vec r)(dx^1)^2-\phi(\vec r)(dx^2)^2$

Um die Christoffel-Symbole zu finden, muss ich den metrischen Tensor umkehren $g_{\mu\nu}$ Zu $g^{\mu\nu}$ .
Gehe ich richtig in der Annahme, dass dieser letzte Tensor nur Nicht-Null-Elemente auf der Diagonalen hat und dass dies die entsprechenden Elemente aus dem invertierten kovarianten metrischen Tensor sind? (dh $g^{00} = \frac{1}{g_{00}}$ usw.)

Denn wenn das stimmt, weiß ich nicht, wie ich die richtigen Christoffel-Symbole finden soll.

Zum Beispiel beim Rechnen $\Gamma^{2}_{\hphantom{2}12}$ Ich bekomme $\frac{1}{2(-\phi)}\frac{\partial (-\phi)}{\partial x^1}$ was anscheinend 1 minus zu viel hat.

Soba nudeln

Warum denkst du, dass ein Minus zu viel ist? Falls es Sie stört, Christoffel-Symbole diagonaler Metriken können immer noch "nicht diagonale" Einträge haben (dh es ist möglich

Γ_{μ ν}^{σ} \neq 0

$\Gamma^\sigma_{\hphantom{2}\mu\nu}\neq 0$ für

μ \neq ν

$\mu\neq\nu$ ).

N0va

Ich bekomme ihn gleich für

Γ_{12}^{2}

$\Gamma^2_{12}$ . Ihre inverse Metrik ist korrekt. Sind Sie sicher, dass Ihre Quelle ein Minus für angibt?

Γ_{12}^{2}

$\Gamma^2_{12}$ ?

Γ_{22}^{1}

$\Gamma^1_{22}$ Ist

- \frac{1}{2 ϕ} \frac{\partial ϕ}{\partial x^{1}}

$-\frac{1}{2\phi}\frac{ \partial \phi}{ \partial x^1}$ Wenn ich nicht falsch liege. Verwenden sie die Standardkonvention für die Indizes?

N0va

Das Christoffel-Symbol erster Art

Γ_{212} = - \frac{1}{2} \frac{\partial ϕ}{\partial x^{1}}

$\Gamma_{212}=-\frac{1}{2}\frac{\partial \phi}{\partial x^1}$ hat ein Minus. Aber dieser hat nicht den metrischen Faktor

g^{22}

$g^{22}$ drin.

Marion

Ihre Metrik enthält keine Elemente außerhalb der Diagonale. Dennoch ist es eine schöne Übung, die allgemeinste inverse Metrik anzunehmen, sagen wir, {{A,B},{C,D}}, multipliziere sie mit deiner Metrik und bestehe darauf, dass das Ergebnis die Einheitsmatrix ergibt.

Antworten (1)

Finden der richtigen Christoffel-Symbole in einer 2+1D Raumzeit

Warum denkst du, dass ein Minus zu viel ist? Falls es Sie stört, Christoffel-Symbole diagonaler Metriken können immer noch "nicht diagonale" Einträge haben (dh es ist möglich $\Gamma^\sigma_{\hphantom{2}\mu\nu}\neq 0$ für $\mu\neq\nu$ ).
Ich bekomme ihn gleich für $\Gamma^2_{12}$ . Ihre inverse Metrik ist korrekt. Sind Sie sicher, dass Ihre Quelle ein Minus für angibt? $\Gamma^2_{12}$ ? $\Gamma^1_{22}$ Ist $-\frac{1}{2\phi}\frac{ \partial \phi}{ \partial x^1}$ Wenn ich nicht falsch liege. Verwenden sie die Standardkonvention für die Indizes?
Das Christoffel-Symbol erster Art $\Gamma_{212}=-\frac{1}{2}\frac{\partial \phi}{\partial x^1}$ hat ein Minus. Aber dieser hat nicht den metrischen Faktor $g^{22}$ drin.
Ihre Metrik enthält keine Elemente außerhalb der Diagonale. Dennoch ist es eine schöne Übung, die allgemeinste inverse Metrik anzunehmen, sagen wir, {{A,B},{C,D}}, multipliziere sie mit deiner Metrik und bestehe darauf, dass das Ergebnis die Einheitsmatrix ergibt.

JamalS · Answer 1

Nehmen Sie das Koordinatensystem zu sein $\{t,x,y\}$ , mit metrisch,

D S^{2} = N (\vec{R})^{2} D T^{2} - ϕ (\vec{R}) (D X^{2} + D j^{2})

$ds^2 = N(\vec r)^2 dt^2 - \phi(\vec r)(dx^2+ dy^2)$

Ich vermute $N(\vec r)$ das zu meinen $N =N(x,y)$ , dh es besteht nur eine räumliche Abhängigkeit. Die Berechnung der Christoffel-Symbole ist einfach und erfordert lediglich die Anwendung der Formel:

$\Gamma^t_{tx} = N^{-1}\partial_x N, \Gamma^t_{ty} = N^{-1}\partial_y N$ . $\Gamma^x_{tt} = \frac{N}{\phi}\partial_x N, \Gamma^x_{xx} = - \Gamma^x_{yy} = \frac{1}{2\phi}\partial_x\phi.$ $\Gamma^{x}_{xy} = \frac{1}{2\phi}\partial_y \phi$ . Dann für $\Gamma^y_{ab}$ die Matrix ist dieselbe, aber mit allen Ableitungen bzgl $x \leftrightarrow y$ . Die skalare Krümmung des Raums ist

R = \frac{1}{N ϕ} (2 \nabla^{2} N) - N [(\partial_{ich} ϕ) (\partial^{ich} ϕ) - ϕ \nabla^{2} ϕ]

$R = \frac{1}{N\phi} \left( 2\nabla^2 N\right) - N\left[(\partial_i\phi)(\partial^i \phi) - \phi\nabla^2 \phi\right]$

wo der Laplace eingeschaltet ist $\mathbb R^2$ Und $i=x,y$ . Alle anderen Krümmungstensoren sind relativ kompliziert $N$ Und $\phi$ .

Finden der richtigen Christoffel-Symbole in einer 2+1D Raumzeit

Josua

Soba nudeln

N0va

N0va

Marion

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JamalS

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