Kanonische Form von Strukturkonstanten und zueinander orthogonaler Triade auf den Bahnen der Bianchi-Kosmologien

Zunächst einmal müssen wir herausfinden, wie die Matrix$n^{ij}$unter den betrachteten linearen Transformationen transformiert. Beachten Sie zu diesem Zweck, dass wir die Zerlegung (2) im OP konstruieren können, indem wir (gemäß der von den Autoren verwendeten Konvention) Folgendes berücksichtigen:

$$C^{ij} = C^i{}_{k\ell}\epsilon^{jk\ell}, \tag{4}$$ der gehorcht $\epsilon_{jmn}C^{ij} = C^i{}_{k\ell}\epsilon^{k\ell}_{mn} = C^i{}_{[mn]} = C^i{}_{mn}$. Dann haben wir uns getrennt $C^{ij} = C^{(ij)} + C^{[ij]}$und nehme $$\begin{align}\begin{split} C^{(ij)} &\equiv n^{ij}, \\ C^{[ij]} &\equiv -\epsilon^{ijk}a_k, \end{split}\tag{5}\end{align}$$ definieren $n^{ij}$Und $a_k$. Hier haben wir die Tatsache ausgenutzt, dass es sich um eine Drei-Parameter-Algebra handelt, sodass der antisymmetrische Teil und der Vektor die gleiche Anzahl unabhängiger Komponenten haben. Mit anderen Worten $$\begin{align}\begin{split} n^{ij} &= C^{(i}{}_{k\ell}\epsilon^{j)k\ell}, \\ a_k &= -C^i{}_{ki}. \end{split}\tag{5.1}\end{align}$$ Fortfahren lassen wir $a,b,c$bezeichnen transformierte Indizes: $\xi_a = \gamma_a^j\xi_j$. Wir werden auch verwenden $\gamma_i^a$um die Umkehrung von zu bezeichnen $\gamma^i_a$, indem wir uns von den Indizes darüber informieren lassen, mit welcher Transformation wir es zu tun haben. Aus (5.1) ist dies offensichtlich $a_c = \gamma_c^ja_j$, aber die Umwandlung von $n^{ij}$ist etwas kniffliger: $$\begin{align} n^{cd} &= C^k{}_{ij}\gamma^i_a\gamma^j_b\gamma^{(c}_k\epsilon^{d)ab} \\ &= \left(2\delta^k_{[i}a_{j]} + \epsilon_{ij\ell}n^{\ell k}\right)\gamma^i_a\gamma^j_b\gamma^{(c}_k\epsilon^{d)ab}. \tag{6} \end{align}$$ Einfache Berechnung bestätigt, dass der erste Term in (6) verschwindet und wir haben $$\begin{align} n^{cd} &= \epsilon^{ab(d}_{ij\ell}\gamma^{c)}_k\gamma^i_a\gamma^j_bn^{\ell k} \\ &= \epsilon^{abe}_{ij\ell}\gamma^{(d}_m\gamma^{c)}_k\gamma^m_e\gamma^i_a\gamma^j_bn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \epsilon_{ij\ell}^{ijm}\gamma^{(d}_m\gamma^{c)}_kn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \gamma^{(d}_\ell\gamma^{c)}_kn^{\ell k} \\ &= \det(\gamma) \gamma^d_\ell\gamma^c_kn^{\ell k}.\tag{6.1} \end{align}$$ Also mal abgesehen vom Faktor $\det(\gamma)$das haben wir gefunden $n^{ij}$transformieren, wie seine Indizes vermuten lassen. Beachten Sie, dass, obwohl die Symmetrisierung in (6.1) verschwindet, es genau die Symmetrisierung ist, die den ersten Term in (6) tötet. Natürlich die Umwandlung von $q_{ij}$folgt trivial aus der Definition: $$q_{ab} = \gamma^i_a\gamma^j_bq_{ij}.\tag{6.2}$$

Beachten Sie nun, dass, wenn wir unsere Mengen als schreiben$3\times 3$Matrizen können wir (6.1) und (6.2) ausdrücken als

$$\begin{align}\tag{6.3} \widetilde{q} &= \gamma q \gamma^T, & \widetilde{n} &= \det(\gamma) \left(\gamma^{-1}\right)^T n \gamma^{-1}, \end{align}$$ Unter orthogonalen Transformationen können wir (6.3) umschreiben als $$\begin{align}\tag{6.4} \widetilde{q} &= \gamma q \gamma^{-1}, & \widetilde{n} &= \det(\gamma)\gamma n \gamma^{-1}, \end{align}$$ was, abgesehen vom Faktor $\det(\gamma)$ist identisch mit der gegenseitigen Transformation zweier linearer Operatoren. Da beide $q_{ij}$Und $n^{ij}$symmetrisch sind, werden sie durch orthogonale Transformationen diagonalisiert, weshalb wir das mit Sicherheit sagen können $q$Und $n$sind genau dann zueinander diagonalisierbar , wenn es eine lineare Transformation gibt, die sie dazu bringt, als Matrizen zu pendeln. Technisch verwenden wir die triviale Tatsache, dass $n^{ab}$ist genau dann diagonal, wenn $\det(\gamma)^{-1}n^{ab}$Ist.

Der Trick besteht dann darin, sich daran zu erinnern$q_{ij}$Und$n^{ij}$als Matrizen unter orthogonalen Transformationen transformieren, tun sie dies im Allgemeinen nicht. Insbesondere Diagonaltransformationen ermöglichen es uns, die Eigenwerte neu zu skalieren. Genauer gesagt dürfen wir das ohne Einschränkung annehmen$q_{ij}$wurde diagonalisiert. Die Kommutatorkomponenten sind dann gegeben durch

$$\begin{align} q_{1i}n^{i2} - n^{1i}q_{i2} &= (q_{11} - q_{22})n^{12}, \\ q_{1i}n^{i3} - n^{1i}q_{i3} &= (q_{11} - q_{33})n^{13}, \\ q_{2i}n^{i3} - n^{2i}q_{i3} &= (q_{22} - q_{33})n^{23}, \end{align}$$ und unter einer geeigneten Diagonaltransformation (z. B. einer Normalisierung) können wir erhalten $q_{11} = q_{22} = q_{33}$, wodurch der Kommutator verschwindet. Wie oben erwähnt, können wir dann diagonalisieren $n^{ij}$ohne die Orthogonalisierung zu stören, und da eine orthogonale Transformation die Eigenwerte aller Eigenwerte nicht stört $q_{ij}$sind identisch. Wir können also wählen $a = (a,0,0)$ohne Einschränkung. Wir sind dann frei, uns zu normalisieren $n^{ij}$, und ggf $a$(nach (6.1) können wir normieren $a$wenn und nur wenn entweder $n^{22} = 0$, $n^{33}=0$, oder beides), obwohl wir dabei möglicherweise die Normalisierung unserer Triade zerstören (wie auch von den Autoren des Artikels angemerkt).