Hat ein Beobachter auf einer expandierenden Drei-Sphäre von Natur aus ein hyperbolisches Zeitgefühl?

Question

Hat ein Beobachter auf einer expandierenden Drei-Sphäre von Natur aus ein hyperbolisches Zeitgefühl?

R. Rankin

Man kann sich die 3-Sphäre vom Radius a als in einen vierdimensionalen euklidischen Raum eingebettet vorstellen. Man hat in dieser Ansicht die Bedingung für ein beliebiges Koordinatensystem mit Ursprung im Mittelpunkt der 3er-Sphäre:

A^{2} = G_{μ v} X^{μ} X^{v}

$a^{2}=g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}$

Beachten Sie, dass die Metrik hier Riemannsch (nicht Pseudoriemannsch) ist. In kartesischen Standardkoordinaten lautet dies beispielsweise:

A^{2} = X^{2} + j^{2} + z^{2} + w^{2}

$a^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$

Das ist einfach die Bedingung, dass die Koordinaten irgendwo auf der 3er-Sphäre liegen. Für eine 3-Sphäre mit sich änderndem Radius a kann man dies infinitesimal schreiben als:

D A^{2} = G_{μ v} D X^{μ} D X^{v}

$da^{2}=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$

Wobei klar ist, dass a eine Funktion eines externen Parameters (Zeit oder konforme Zeit) sein wird. Lassen wir nun zu, dass sich ein Körper auf der Dreikugel bewegt, während er sich ausdehnt. Für eine Koordinatenwahl mit drei Variablen (\chi) auf den drei Kugeln hat man eine infinitesimale Verschiebung, die gegeben ist durch:

D l^{2} = G_{μ v} \frac{D χ^{μ}}{D T} D T \frac{D χ^{v}}{D T} D T

$dl^{2}=g_{\mu\nu}\frac{d\chi^{\mu}}{dt}dt\frac{d\chi^{\nu}}{dt}dt$

Unsere Gesamtverschiebungsbedingung wird dann zu:

D L (T, \dot{χ})^{2} = D A (T)^{2} + G_{μ v} D χ (T)^{μ} D χ (T)^{v}

$dL(t,\dot{\chi})^{2}=da(t)^{2}+g_{\mu\nu}d\chi(t)^{\mu}d\chi(t)^{\nu}$

Aber $L$ ist nicht unveränderlich; Verschiedene Beobachter würden über den Wert von streiten $L$ . $a$ ist jedoch unveränderlich und wird unabhängig von der Position auf den drei Sphären vereinbart. Auf diese Weise ist es etwas natürlicher, umzuschreiben:

- D A (T)^{2} = - D L^{2} + G_{μ v} D χ (T)^{μ} D χ (T)^{v}

$-da(t)^{2}=-dL^{2}+g_{\mu\nu}d\chi(t)^{\mu}d\chi(t)^{\nu}$

Es ist sinnvoll, hier zu benennen $L=\chi^{0}$ und eine pseudoriemannsche Metrik, so dass:

- D A (T)^{2} = G_{μ v} D χ^{μ} D χ^{v}

$-da(t)^{2}=g_{\mu\nu}d\chi^{\mu}d\chi^{\nu}$

Beachten Sie, dass dieses Argument auch für zwei beliebige Punkte gilt $S^{3}$ bei zwei unterschiedlichen Werten von $a$ . Angesichts der unterschiedlichen geometrischen Rollen von a und L (im Vergleich zu Dimensionen auf $S^{3}$ ), könnte man verschiedene Einheiten wählen, so dass $a=c\tau$ Und $\chi^{0}=ct$ wobei c eine Konstante ist. Beachte man hat dann den natürlichen Zustand:

- C^{2} = G_{μ v} \frac{D χ^{μ}}{D τ} \frac{D χ^{v}}{D τ}

$-c^{2}=g_{\mu\nu}\frac{d\chi^{\mu}}{d\tau}\frac{d\chi^{\nu}}{d\tau}$ Lokal sieht dies für große a sehr nach den Bedingungen der Lorentz-Invarianz wie in der speziellen Relativitätstheorie aus. jedenfalls fand ich es interessant.

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Hat ein Beobachter auf einer expandierenden Drei-Sphäre von Natur aus ein hyperbolisches Zeitgefühl?

Lawrence B. Crowell · Answer 1

Konforme Transformation einer Metrik $g_{\mu\nu}~\rightarrow~\Omega^2g_{\mu\nu}$ was für das Linienelement

D S^{2} = G_{μ v} D X^{μ} D X^{v} \to Ω^{2} G_{μ v} D X^{μ} D X^{v}

$ds^2~=~g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu~\rightarrow~\Omega^2g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ was für eine Diagonalmetrik ist

D S^{' 2} = Ω^{2} (D χ^{2} - D Σ^{(3)}),

$ds'^2~=~\Omega^2(d\chi^2~-~d\Sigma^{(3)}),$ Wo

χ

$\chi$ konforme Zeit und

Σ^{(3)}

$\Sigma^{(3)}$ die Metrik der räumlichen Oberfläche. Für eine ebene Fläche

d Σ^{(3)} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}

$d\Sigma^{(3)}~=~dx^2~+~dy^2~+~dz^2$ . Allgemein

D Σ^{(3)} = (\frac{D R^{2}}{1 - k R^{2}} + R^{2} D θ^{2} + R^{2} {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}) .

$d\Sigma^{(3)}~=~\left(\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2\right).$ das wird durch die konforme Transformation abgebildet

d Σ^{(3)} \to Ω^{2} d Σ^{(3)}

$d\Sigma^{(3)}~\rightarrow~\Omega^2d\Sigma^{(3)}$ .

Wir lassen jetzt

D χ = \frac{D χ}{D T} D T = Ω^{- 1} D T,

$d\chi~=~\frac{d\chi}{dt}dt~=~\Omega^{-1}dt,$ was die Raumzeitmetrik ergibt

D S^{2} = D T^{2} - Ω^{2} (\frac{D R^{2}}{1 - k R^{2}} + R^{2} D θ^{2} + R^{2} {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}) .

$ds^2~=~dt^2~-~\Omega^2\left(\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2\right).$ Die konforme Transformation ist eine zeitabhängige Funktion, die wir als schreiben

Ω = a (t)

$\Omega~=~a(t)$ das ergibt also die FLRW-Metrik

D S^{2} = D T^{2} - A (T)^{2} (\frac{D R^{2}}{1 - k R^{2}} + R^{2} D θ^{2} + R^{2} {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}) .

$ds^2~=~dt^{2}~-~a(t)^{2}\left(\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2\right).$

Vielen Dank, aber ich bin mir nicht ganz sicher, ob dies meine Frage beantwortet, ob die konforme Transformation oder vielmehr der Skalierungsfaktor eine Invariante ist. Würden sich nicht alle Beobachter unabhängig vom Rahmen auf den Skalierungsfaktor einigen? Es ist an die Ricci Scala gebunden, die ebenfalls eine Invariante ist.
Der Skalierungsfaktor ist eine Art zeitabhängiger konformer Faktor, der die räumliche Oberfläche erweitert. Tatsächlich einigen sich alle Beobachter zu einem bestimmten Zeitpunkt auf denselben Skalierungsfaktor, wie er von der Hubble-Oberfläche bestimmt wird.
@Lawrence_B._Crowell Was ist hier mit einem Begriff für das Differential des Skalierungsfaktors? $d\Omega$ Sollte eine solche Größe nicht auch auf einer Hubble-Oberfläche unveränderlich sein?
Einverstanden, was nur bedeutet, dass die Raumzeit isotrop ist.

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R. Rankin

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