Zwei "Robertson-Walker-Beobachter", Geschwindigkeit des Baseballs, wie vom zweiten Beobachter gesehen, kurz bevor er gefangen wird?

Während der gesamten Frage werde ich verwenden$p(T_1)$Und$p(T_2)$um manchmal den 4-Schwung des Baseballs zu bezeichnen$T_1$Und$T_2$,$\mathbf{v}_1$Und$\mathbf{v}_2$um die räumliche Komponente seiner physikalischen Geschwindigkeit darzustellen, und$a(T_1)$Und$a(T_2)$um den Maßstabsfaktor des Universums zu diesen Zeiten darzustellen.

Die Homogenität und Isotropie des Universums bedeutet, dass, egal in welche Richtung der Baseball von einem mitbewegten Beobachter geworfen wird , er in der FRW-Raumzeit einer geodätischen Bahn folgt, die in dem Sinne eine „radiale“ Flugbahn ist

$$\begin{equation} ds^2 = -dT^2 + a^2(T) \: d\chi^2, \end{equation}$$

Und

$$\begin{equation} \dot{p}_{\chi} = 0, \end{equation}$$

Wo$\chi$ist die FRW-Radialkoordinate so, dass$d\chi = dr/\sqrt{1-Kr^2}$für commoving Krümmung$K$, Und$p_{\chi}$ist die Komponente des 4-Impulses des Baseballs in diese Richtung. Der Punkt bezeichnet die zeitliche Ableitung.

Rechnerisch gilt diese Bedingung$p_{\chi}$kann durch Absenken der Indizes auf der geodätischen Gleichung gesehen werden$\dot{p}^a+\Gamma^a_{bc}p^bp^c=0$und Umbenennen von Dummy-Indizes, um sie zu erhalten

$$\begin{equation} \dot{p}_a = \frac{1}{2}(\partial_a g_{bc})p^bp^c. \end{equation}$$

Da die Metrik hier unabhängig von ist$\chi$, wir sehen das$p_{\chi}$entlang der Geodäten konstant ist.

Da sich das Universum von jedem Punkt weg ausdehnt, dehnt es sich intuitiv in alle Richtungen vom Beobachter 1 weg aus, sodass alle Richtungen Würfen entlang einer radialen Flugbahn entsprechen.

Mit diesem Wissen wollen wir das Problem in Bezug auf kovariante Komponenten des Impulses formulieren , also werden wir das entsprechende Linienelement für einen massiven Baseball verwenden,

$$\begin{equation} g^{\mu \nu}p_{\mu} p_{\nu} = -m^2 = -p_T^2(T_1) + \frac{1}{a^2(T_1)} p_{\chi}^2 \end{equation}$$ $$\begin{equation} -m^2 = -p_T^2(T_2) + \frac{1}{a^2(T_2)} p_{\chi}^2. \end{equation}$$

Die Masse hat keine niedrige Geschwindigkeit, daher wird die speziell-relativistische Masse-Schalen-Bedingung verwendet$E^2 = m^2+|\mathbf{p}|^2$, wir bekommen

$$\begin{equation} m^2 = p_T^2(T_1) - |\mathbf{p_1}^2| \end{equation}$$

$$\begin{equation} m^2 = p_T^2(T_2) - |\mathbf{p_2}^2|. \end{equation}$$

Diese ersetzen$m^2$in das Linienelement und löscht die$p_T^2$und das Bilden des Verhältnisses der beiden Gleichungen ergibt dann

$$\begin{equation} \frac{|\mathbf{p_2}^2|}{|\mathbf{p_1}^2|} = \frac{a^2(T_1) p_{\chi}(T_2)}{a^2(T_2) p_{\chi}(T_1)}. \end{equation}$$

Aber wie zuvor besprochen, die$p_{\chi}$werden entlang der Geodäte konserviert und heben sich daher auf! Da schließlich die Masse erhalten bleibt, können wir die räumlichen Impulse in Bezug auf die räumlichen Geschwindigkeiten schreiben als

$$\begin{equation} \frac{\gamma_1 |\mathbf{v}_1|}{\gamma_2 |\mathbf{v}_2|} = \frac{a(T_2)}{a(T_1)}. \end{equation}$$

Das gibt$|\mathbf{v}_2|$bezüglich$|\mathbf{v}_1|$nach Bedarf.

Dieses Bild des zeitgeschnittenen Universums sollte helfen, die Situation zu visualisieren. Die roten Linien sind die sich mitbewegenden Beobachter, die blaue Linie ist die Flugbahn des Baseballs und die schwarzen Pfeile sind die räumlichen Komponenten der Geschwindigkeit des Baseballs zu bestimmten Zeiten$T_1$Und$T_2$.