Einbauverteiler bestückt mit FLRW metrisch

Sie betrachten einen 3D-Raum mit euklidischer Metrik in Zylinderkoordinaten:

$$\tag{1} ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = dr^2 + r^2 \, d\varphi^2 + dz^2.$$ Nun führe in diesem Raum eine Fläche von Höhe ein$z = f(r)$(unter der Annahme von Isotropie in der$x \, y$Ebene). Dann$dz = f^{\prime} \, dr$und (1) wird $$\tag{2} ds^2 = (1 + f^{\prime \, 2}) \, dr^2 + r^2 \, d\varphi^2.$$ Sie möchten, dass diese Metrik mit der FLRW-Metrik übereinstimmt, falls dies der Fall ist$\theta = \frac{\pi}{2}$: $$\tag{3} ds^2 = \frac{1}{1 - k r^2} \, dr^2 + r^2 \, d\varphi^2.$$ Daher müssen Sie die folgende Differentialgleichung auferlegen (angenommen$k = 1$. Es ist trivial für$k = 0$und es gibt keine Lösung für$k = -1$mit Metrik (1)): $$\tag{4} \frac{df}{dr} = \pm \, \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}}.$$ Dies impliziert$f(r) = C \mp \sqrt{1 - r^2}$. Sie können das Minuszeichen und wählen$C = 1$, So$z(r) = 1 - \sqrt{1 - r^2}$für$0 \le r < 1$(So$z(0) = 0$Und$z(1) = 1$).

Beachten Sie, dass diese Oberfläche eine halbe Kugel mit Radius 1 ist und auf zentriert ist$z_c = 1$, im euklidischen 3D-Raum:

$$\tag{5} x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = r^2 + (z - 1)^2 = 1.$$ Diese eingebettete Kugel entspricht der Geometrie, die dem Raumkrümmungsparameter zugeordnet ist$k = 1$.

Für$k = -1$, benötigen Sie eine pseudo-euklidische Metrik anstelle von (1) oben.