Anziehung in der Nähe einer geraden kosmischen Schnur

Question

Anziehung in der Nähe einer geraden kosmischen Schnur

Cham

Ich habe ein Interpretationsproblem mit dem Verhalten der Partikel um eine gerade kosmische Schnur.

Betrachten Sie das unendliche zylindrische Universum, das durch die folgende Metrik beschrieben wird:

\begin{matrix} (1) & D S^{2} = D T^{2} - D R^{2} - (1 - 4 G μ)^{2} R^{2} D φ^{2} - D z^{2} . \end{matrix}

$\tag{1} ds^2 = dt^2 - dr^2 - (1 - 4 G \mu)^2 \, r^2 \, d\varphi^2 - dz^2.$ Um die Dinge zu vereinfachen, werde ich schreiben

\begin{matrix} (2) & λ = 1 - 4 G μ \equiv 1 - \frac{a}{2 π} \leq 1, \end{matrix}

$\tag{2} \lambda = 1 - 4 G \mu \equiv 1 - \frac{\alpha}{2 \pi} \le 1,$ und betrachten Sie nur Bewegungen in der orthogonalen Ebene:

z = 0

$z = 0$ Und

\dot{z} = 0

$\dot{z} = 0$ . Aus Metrik (1) kann gezeigt werden, dass der vollständige Riemann-Krümmungstensor überall um die Saite herum 0 ist. Diese Raumzeit ist also lokal Minkowskisch, hat aber eine konische Topologie mit Defizitwinkel

α = 8 π G μ

$\alpha = 8 \pi G \mu$ (was gibt

λ < 1

$\lambda < 1$ ). Ich hatte erwartet, dass sich freie Teilchen in dieser Raumzeit in geraden Linien bewegen, da es überhaupt keine Krümmung gibt und es bekannt ist, dass die gerade kosmische Schnur keine Gravitationskraft auf Testteilchen ausübt. Aufgrund des Defizitwinkels hatte ich Zweifel, also habe ich eine numerische Auflösung der geodätischen Gleichungen mit Mathematica vorgenommen . Der Lagrangian des Partikels ist einfach dieser, wobei die Punkte die Ableitung in Bezug auf die Eigenzeit darstellen

σ

$\sigma$ oder eine beliebige Parametrisierung im Fall von Licht (when

L = 0

$\mathcal{L} = 0$ ):

\begin{matrix} (3) & L = {\dot{T}}^{2} - {\dot{R}}^{2} - λ^{2} R^{2} {\dot{φ}}^{2} . \end{matrix}

$\tag{3} \mathcal{L} = \dot{t}^2 - \dot{r}^2 - \lambda^2 \, r^2 \, \dot{\varphi}^2.$ Die Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen (oder geodätischen Gleichungen) ergibt die folgenden Gleichungen:

\begin{aligned} (4) & \dot{T} \equiv \frac{D T}{D σ} & = K = Konstante, \\ (5) & \frac{D^{2} R}{D σ^{2}} & = λ^{2} R {\dot{φ}}^{2}, \\ (6) & \dot{φ} \equiv \frac{D φ}{D σ} & = \frac{J}{R^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \dot{t} \equiv \frac{d t}{d\sigma} &= \mathcal{K} = \text{constant,} \tag{4} \\[1ex] \frac{d^2 r}{d\sigma^2} &= \lambda^2 \, r \, \dot{\varphi}^2, \tag{5} \\[1ex] \dot{\varphi} \equiv \frac{d\varphi}{d\sigma} &= \frac{\mathcal{J}}{r^2}. \tag{6} \end{align}$ Die Verwendung von (6) in (5) ergibt

\begin{matrix} (7) & \frac{D^{2} R}{D σ^{2}} = \frac{λ^{2} J^{2}}{R^{3}} . \end{matrix}

$\tag{7} \frac{d^2 r}{d\sigma^2} = \frac{\lambda^2 \mathcal{J}^2}{r^3}.$ Die Konstante der Bewegung

J

$\mathcal{J}$ wird als Drehimpuls des Teilchens pro Masseneinheit interpretiert. Ich verwende dann kartesische Koordinaten für die numerische Simulation:

x = r \cos φ

$x = r \cos \varphi$ Und

y = r \sin φ

$y = r \sin \varphi$ . Damit ergeben sich die folgenden Differentialgleichungen (mit

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ):

\begin{aligned} (8) & \frac{D^{2} X}{D σ^{2}} & = - \frac{(1 - λ^{2}) J^{2}}{R^{4}} X, \\ (9) & \frac{D^{2} j}{D σ^{2}} & = - \frac{(1 - λ^{2}) J^{2}}{R^{4}} j . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d^2 x}{d\sigma^2} &= -\, \frac{(1 - \lambda^2) \mathcal{J}^2}{r^4} \, x, \tag{8} \\[1ex] \frac{d^2 y}{d\sigma^2} &= -\, \frac{(1 - \lambda^2) \mathcal{J}^2}{r^4} \, y. \tag{9} \end{align}$ Nach diesen Gleichungen wirkt also eine "Kraft" auf das Teilchen. Natürlich ist es 0, wenn

λ = 1

$\lambda = 1$ (Fall ohne Defizitwinkel = globale flache Minkowski-Welt). Das Ausführen dieser Gleichungen in Mathematica ergibt typischerweise die folgende Art von Trajektorien in der

x y

$x \, y$ Ebene (die graue Scheibe ist die kosmische Saite. Ihr Radius ist die Einheit von Zeit und Länge. Die drei Schieberegler sind der Defizitwinkel

α

$\alpha$ , der Schlagparameter

b

$b$ und Anfangsgeschwindigkeit

v

$v$ ):

Die Kraft (8)-(9) ist 0, wenn das Teilchen zunächst in Ruhe ist (Drehimpuls $\mathcal{J} = 0$ ). Dies steht im Einklang mit der Idee, dass die Saite keine Gravitationskraft ausübt. Aber von (8)-(9) wirkt eine geschwindigkeitsabhängige Kraft auf das Teilchen, und die Bilder zeigen deutlich, dass die Saite anziehend ist. (Bei einigen Parametern könnte das Partikel von der Schnur eingefangen und dann ausgestoßen werden ...)

Wie kann das sein, wenn es überhaupt keine Raumzeitkrümmung überall um die Saite herum gibt?

Kann mich jemand auf ein frei verfügbares Papier (arXiv?) Verweisen, das diese seltsamen Merkmale der geraden kosmischen Saite beschreibt?

Jacopo Tissino

Interessantes Problem, nur ein Gedanke: die

x y

$xy$ Ebene, die Sie aus den Polarkoordinaten zeichnen

r

$r$ ,

φ

$\varphi$ hat nicht die übliche flache Metrik, da der Umfang eines Kreises nicht gleich ist

2 π r

$2 \pi r$ ; Wenn Sie also die Trajektorien "Kurve" sehen, bedeutet dies nicht unbedingt, dass dies der Fall ist. Haben Sie versucht, sie auf einen Kegel zu zeichnen?

Cham

@JacopoTissino, ich habe kein Diagramm auf einem Kegel erstellt. Ich bin mir nicht sicher, ob dies die Mühe wert ist. Über den Faktor

λ^{2}

$\lambda^2$ vor dem eckigen Teil

r^{2} d φ^{2}

$r^2 \, d\varphi^2$ , es könnte in einer Neudefinition der radialen Koordinate aufgehen

r

$r$ (und würde vor dem radialen Teil wieder erscheinen

d r^{2}

$dr^2$ , in der Metrik). Bei den aktuellen Koordinaten fehlt dem Kreis nur ein Winkel ("Defizitwinkel" der Kegelwelt)

Jacopo Tissino

Nun, das ist mein Punkt: Sie können neu definieren

r

$r$ oder

φ

$\varphi$ , aber in jedem Fall werden Sie wegen des fehlenden Winkels Ihre Mannigfaltigkeit nicht auf der ganzen Ebene isometrisch zeichnen können. Ihre Graphen sind genau eine orthogonale Projektion des Kegels auf eine Ebene senkrecht zu seiner Achse: Als solche verzerren sie die Flugbahnen und lassen es so aussehen, als ob sie sich krümmen, obwohl sie es nicht sind.

Cham

@JacopoTissino, wie erklären Sie sich dann, dass die orthogonalen Projektionen Kurven zeigen, die ganze Windungen um die Saite machen? Selbst wenn ich sie als gerade Linien auf einer offenen Scheibe (mit dem Defizitwinkel) zeichne und die Scheibe schließe, um den Kegel zu erhalten, kann ich keine Kurven erhalten, die solche ganzen Kurven machen.

Jacopo Tissino

@Charm Das scheint in der Tat seltsam: für den im Diagramm angezeigten Wert von

α \approx π / 2 ⟹ λ \approx 3 / 4

$\alpha\approx \pi/2 \implies \lambda \approx 3/4$ Ich würde erwarten, weniger als eine volle Umdrehung um die Saite zu sehen, während es zwei oder sogar mehr zu geben scheint.

Cham

Ich glaube, ich verstehe es jetzt. Wenn wir den Extremfall eines geraden Zylinders nehmen, könnten wir zufällige freie Partikel auf seine Oberfläche werfen. Viele von ihnen bewegen sich auf einer spiralförmigen Bahn mit unterschiedlichen Neigungen und Geschwindigkeiten. Wenn Sie den Zylinder auf einer Ebene quetschen, werden spiralförmige Kurven angezeigt, die ein zentrales kreisförmiges Loch umgeben (wie auf meinen Bildern oben). Es ist jedoch klar, dass die Partikel nicht durch eine Kraft auf der 2D-Oberfläche abgelenkt werden (der Zylinder ist lokal flach). Der Kegel hat eine ähnliche Eigenschaft.

TimRias

Ich schlage vor, Sie haben bei Ihrer numerischen Implementierung einen Fehler gemacht. Ich kann Ihre Diagramme mit der angegebenen Gleichung nicht reproduzieren.

Cham

@mmeent, obwohl es möglich ist, sehe ich nicht, wo ich einen Fehler hätte machen können. Oder vielleicht ist es der für den Drehimpuls gewählte Zahlenwert

J = γ v b

$\mathcal{J} = \gamma v b$ .

TimRias

@Cham Sie müssen in der Tat sicherstellen, dass Ihre Wahl von

J

$\mathcal{J}$ stimmt mit Gl. 6 und Ihren Anfangsbedingungen überein.

TimRias

Das impliziert

J = b v

$\mathcal{J} = b v$ . (oder genauer gesagt

J = - b v

$\mathcal{J} = - b v$ , Ihren Plänen nach zu urteilen.)

Cham

@mmeent, Sie haben vielleicht Recht, dass ich einen Fehler in den Code eingefügt habe. Es muss eine reibungslose Verbindung von schnellen, massiven Partikeln zu lichtähnlichen Flugbahnen geben, was einfach ist. Ein Gammafaktor könnte also an der falschen Stelle in meinem Mathematica-Code stehen. Ich überprüfe das.

Cham

@mment,

J = r^{2} \dot{φ} = r^{2} \frac{d t}{d σ} \frac{d φ}{d t} = K r^{2} \frac{d φ}{d t}

$\mathcal{J} = r^2 \dot{\varphi} = r^2 \, \frac{dt}{d\sigma} \frac{d\varphi}{d t} = \mathcal{K} \, r^2 \frac{d\varphi}{dt}$ . Die zeitähnliche Konstante sollte sein

K \equiv γ = 1 / \sqrt{1 - v^{2}}

$\mathcal{K} \equiv \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}$ .

TimRias

In diesem Fall ist Ihr Anfangswert für

\dot{x}

$\dot{x}$ besser auch sein

v γ

$v \gamma$

TimRias

Nun, Ihr Streuwinkel sollte sein

π / λ

$\pi/\lambda$ also für ausreichend klein

λ

$\lambda$ Sie sollten in der Lage sein, so viele Kurven zu machen, wie Sie möchten.

Cham

@mmeent, vielleicht habe ich das Problem gefunden. Bei der Definition der Geschwindigkeit relativ zu den stationären Beobachtern:

0 < v < 1

$0 < v < 1$ , müssen wir einen geometrischen Faktor berücksichtigen, der sich auf 1 reduziert, wenn

λ = 1

$\lambda = 1$ (kein Defizitwinkel). Das war zunächst nicht sehr offensichtlich. Ich bin mir aber immer noch nicht sicher, ob das Ergebnis stimmt.

Antworten (3)

Anziehung in der Nähe einer geraden kosmischen Schnur

Interessantes Problem, nur ein Gedanke: die $xy$ Ebene, die Sie aus den Polarkoordinaten zeichnen $r$ , $\varphi$ hat nicht die übliche flache Metrik, da der Umfang eines Kreises nicht gleich ist $2 \pi r$ ; Wenn Sie also die Trajektorien "Kurve" sehen, bedeutet dies nicht unbedingt, dass dies der Fall ist. Haben Sie versucht, sie auf einen Kegel zu zeichnen?
@JacopoTissino, ich habe kein Diagramm auf einem Kegel erstellt. Ich bin mir nicht sicher, ob dies die Mühe wert ist. Über den Faktor $\lambda^2$ vor dem eckigen Teil $r^2 \, d\varphi^2$ , es könnte in einer Neudefinition der radialen Koordinate aufgehen $r$ (und würde vor dem radialen Teil wieder erscheinen $dr^2$ , in der Metrik). Bei den aktuellen Koordinaten fehlt dem Kreis nur ein Winkel ("Defizitwinkel" der Kegelwelt)
Nun, das ist mein Punkt: Sie können neu definieren $r$ oder $\varphi$ , aber in jedem Fall werden Sie wegen des fehlenden Winkels Ihre Mannigfaltigkeit nicht auf der ganzen Ebene isometrisch zeichnen können. Ihre Graphen sind genau eine orthogonale Projektion des Kegels auf eine Ebene senkrecht zu seiner Achse: Als solche verzerren sie die Flugbahnen und lassen es so aussehen, als ob sie sich krümmen, obwohl sie es nicht sind.
@JacopoTissino, wie erklären Sie sich dann, dass die orthogonalen Projektionen Kurven zeigen, die ganze Windungen um die Saite machen? Selbst wenn ich sie als gerade Linien auf einer offenen Scheibe (mit dem Defizitwinkel) zeichne und die Scheibe schließe, um den Kegel zu erhalten, kann ich keine Kurven erhalten, die solche ganzen Kurven machen.
@Charm Das scheint in der Tat seltsam: für den im Diagramm angezeigten Wert von $\alpha\approx \pi/2 \implies \lambda \approx 3/4$ Ich würde erwarten, weniger als eine volle Umdrehung um die Saite zu sehen, während es zwei oder sogar mehr zu geben scheint.
Ich glaube, ich verstehe es jetzt. Wenn wir den Extremfall eines geraden Zylinders nehmen, könnten wir zufällige freie Partikel auf seine Oberfläche werfen. Viele von ihnen bewegen sich auf einer spiralförmigen Bahn mit unterschiedlichen Neigungen und Geschwindigkeiten. Wenn Sie den Zylinder auf einer Ebene quetschen, werden spiralförmige Kurven angezeigt, die ein zentrales kreisförmiges Loch umgeben (wie auf meinen Bildern oben). Es ist jedoch klar, dass die Partikel nicht durch eine Kraft auf der 2D-Oberfläche abgelenkt werden (der Zylinder ist lokal flach). Der Kegel hat eine ähnliche Eigenschaft.
Ich schlage vor, Sie haben bei Ihrer numerischen Implementierung einen Fehler gemacht. Ich kann Ihre Diagramme mit der angegebenen Gleichung nicht reproduzieren.
@mmeent, obwohl es möglich ist, sehe ich nicht, wo ich einen Fehler hätte machen können. Oder vielleicht ist es der für den Drehimpuls gewählte Zahlenwert $\mathcal{J} = \gamma v b$ .
@Cham Sie müssen in der Tat sicherstellen, dass Ihre Wahl von $\mathcal{J}$ stimmt mit Gl. 6 und Ihren Anfangsbedingungen überein.
Das impliziert $\mathcal{J} = b v$ . (oder genauer gesagt $\mathcal{J} = - b v$ , Ihren Plänen nach zu urteilen.)
@mmeent, Sie haben vielleicht Recht, dass ich einen Fehler in den Code eingefügt habe. Es muss eine reibungslose Verbindung von schnellen, massiven Partikeln zu lichtähnlichen Flugbahnen geben, was einfach ist. Ein Gammafaktor könnte also an der falschen Stelle in meinem Mathematica-Code stehen. Ich überprüfe das.
@mment, $\mathcal{J} = r^2 \dot{\varphi} = r^2 \, \frac{dt}{d\sigma} \frac{d\varphi}{d t} = \mathcal{K} \, r^2 \frac{d\varphi}{dt}$ . Die zeitähnliche Konstante sollte sein $\mathcal{K} \equiv \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}$ .
In diesem Fall ist Ihr Anfangswert für $\dot{x}$ besser auch sein $v \gamma$
Nun, Ihr Streuwinkel sollte sein $\pi/\lambda$ also für ausreichend klein $\lambda$ Sie sollten in der Lage sein, so viele Kurven zu machen, wie Sie möchten.
@mmeent, vielleicht habe ich das Problem gefunden. Bei der Definition der Geschwindigkeit relativ zu den stationären Beobachtern: $0 < v < 1$ , müssen wir einen geometrischen Faktor berücksichtigen, der sich auf 1 reduziert, wenn $\lambda = 1$ (kein Defizitwinkel). Das war zunächst nicht sehr offensichtlich. Ich bin mir aber immer noch nicht sicher, ob das Ergebnis stimmt.

benrg · Answer 1

Anstatt diese Koordinaten zu verwenden, könnten Sie den Raum um die Saite herum mit einem Keil des Minkowski-Raums identifizieren, mit den üblichen Minkowski-Koordinaten und -Metriken, und die Kanten des Keils identifizieren. Geodäten, die die Kanten nicht kreuzen, sind gerade Linien.

Wenn $α\ge π$ Dann können Sie immer dafür sorgen, dass eine bestimmte Geodäte vollständig im Keil liegt und die Schnur eindeutig nicht umkreisen kann.

Wenn $α<π$ dann kannst du setzen $\lceil π/α \rceil$ Kopien des Raums nebeneinander in einer Tortenstückanordnung und zeichnen Sie die Geodäte so, dass sie durch diese Kopien verläuft. Der Teil der Geodäte, der in jedem Schnitt liegt, ist eine "Umkreisung" der Schnur. Wenn Sie die Geodäten in Ihren ursprünglichen Koordinaten zeichnen, sieht sie gekrümmt aus, da Sie tatsächlich standardmäßige Minkowski-Zylinderkoordinaten auf den Keil setzen und dann die Winkelkoordinate skalieren $1/λ$ .

Beachten Sie, dass das OP die Gleichung erhält, wenn es die Gleichung über meine Methode löst $1/r = A \cos(\lambda (\phi - \phi_0))$ , Wo $A$ Und $\phi_0$ sind Konstanten. Das ist genau die Gleichung einer Geraden mit der $\phi$ Koordinate neu skaliert.

Michael Seifert · Answer 2

Zu lange für einen Kommentar:

Beachten Sie, dass die geodätischen Gleichungen in diesem Fall genau lösbar sind. Insbesondere können wir ein Analogon der Binet-Gleichung herleiten . Definieren $u = 1/r$ , wir haben

\frac{D R}{D σ} = \frac{D ϕ}{D σ} \frac{D R}{D ϕ} = \frac{J}{R^{2}} \frac{D (1 / u)}{D ϕ} = - \frac{J}{R^{2} u^{2}} \frac{D u}{D ϕ} = - J \frac{D u}{D ϕ}

$\frac{dr}{d\sigma} = \frac{d\phi}{d\sigma}\frac{dr}{d\phi} = \frac{\mathcal{J}}{r^2} \frac{d(1/u)}{d\phi} = - \frac{\mathcal{J}}{r^2u^2 } \frac{du}{d\phi} = - \mathcal{J} \frac{du}{d\phi}$ und nach ähnlicher Logik

\frac{D^{2} R}{D σ^{2}} = \frac{D ϕ}{D σ} \frac{D}{D ϕ} (- J \frac{D u}{D ϕ}) = - J^{2} u^{2} \frac{D^{2} u}{D ϕ^{2}} .

$\frac{d^2 r}{d\sigma^2} = \frac{d\phi}{d\sigma} \frac{d}{d\phi} \left( - \mathcal{J} \frac{du}{d\phi} \right) = -\mathcal{J}^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \phi^2}.$ Ihre Gl. (7) wird dann

- J^{2} u^{2} \frac{D^{2} u}{D ϕ^{2}} = λ^{2} J^{2} u^{3} \Rightarrow \frac{D^{2} u}{D ϕ^{2}} = - λ^{2} u

$-\mathcal{J}^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \phi^2} = \lambda^2 \mathcal{J}^2 u^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2 u}{d \phi^2} = -\lambda^2 u$ Ich vertraue darauf, dass Sie es lösen können.

Sehr schön! Ich werde versuchen, dies zu verwenden, um die Kurven von Mathematica wiederherzustellen .

Cham · Answer 3

Ich habe alle meine Probleme behoben (glaube ich). Hier ist die $x y$ Ebene mit einer typischen Kurve (Startpunkt ist rechts):

Und hier ist eine Ansicht des Kegels, auf dem die Geometrie definiert ist, mit konischem Defizitwinkel $\alpha$ . Darauf sind drei typische Kurven mit unterschiedlichen Schlagparametern gezeichnet $b$ . Ich bin etwas überrascht, dass die Anfangsgeschwindigkeit $v$ macht keinen Unterschied, aber da keine Kraft auf das Teilchen wirkt, ist es doch nicht so sehr überraschend:

Der graue Zylinder ist die kosmische Schnur.

Was los ist, ist ziemlich klar, denke ich. Es gibt keine Gravitationskraft, aber der Kegel hat immer noch eine geometrische Wirkung, selbst wenn seine Krümmung 0 ist.

Was immer noch nicht klar ist, ist der Diffusionseffekt auf ein Bündel von Teilchen, die sich auf dem Kegel bewegen. Gibt es Diffusion oder nicht?

BEARBEITEN: Was hier seltsam ist, ist, dass Sie eine flache Raumzeit um die kosmische Saite herum haben und dennoch den Ball zurückbekommen, den Sie wegwerfen, ohne dass eine Kraft auf den Ball ausgeübt wird! (siehe zum Beispiel die rote Kurve auf dem zweiten Bild oben).

Großartig! Was die Diffusion betrifft (obwohl das vielleicht eine andere Frage sein sollte?), ist die geodätische Abweichung direkt proportional zum Riemann-Tensor, also sollte sie hier Null sein - der Abstand zwischen parallelen Geodäten bleibt konstant.
@JacopoTissino, ja, das ist richtig. Mein Code zeigt, dass es keine Diffusion gibt. Aber dann gibt es Auslenkungen ohne Kraft und Krümmung. Sie können sogar einen Ball wegwerfen und ihn nach einer Weile wieder auffangen, ohne dass Kraft darauf ausgeübt wird. Das ist seltsam!

Anziehung in der Nähe einer geraden kosmischen Schnur

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