Lorentz-Transformationen vs. Koordinatentransformationen

Ein allgemeiner Diffeomorphismus ist keine Isometrie. Oder besser gesagt, es kann zu einer Isometrie gemacht werden. Betrachten Sie glatte Mannigfaltigkeiten$M$Und$N$, mit Metriken$g$Und$h$. Lassen$\phi:M\rightarrow N$ein Unterschied sein. Das sagen wir$\phi$ist eine Isometrie, wenn$g=\phi^*h$.

Aber jetzt vergessen wir es$h$. Wir definieren es stattdessen als

Dann$(M,g)$Und$(N,h)$sind automatisch isometrisch wie (semi-)riemannsche Räume.

Wenn dies gesagt ist, überlegen Sie es sich$(M,g)$Minkowski-Raumzeit sein. Lassen$\phi:M\rightarrow M$ein Unterschied sein. Lassen$X,Y$Vektorfelder sein. Offensichtlich stimmt das _

Nein. Im Allgemeinen ist es nicht wahr. Jene Transformationen für die$\phi^*g=g$in der Minkowski-Raumzeit sind Poincaré-Transformationen. Die (homogenen) linearen sind Lorentz-Transformationen. Damit ist meine Antwort abgeschlossen, aber hier noch eine (hoffentlich) erhellende Randbemerkung.

Obwohl dies in einem etwas anderen Kontext steht, hier ein Beispiel, wo der Unterschied zwischen Isometrien oder allgemeinen invertierbaren & strukturerhaltenden Transformationen einen Unterschied macht:

Betrachten Sie die lokale Lorentz-Geometrie unter Verwendung lokaler (möglicherweise anholonomer) Rahmen. Was sind die Mindestinformationen, die benötigt werden, um die lokale Geometrie genau anzugeben?

Für Koordinatenrahmen: Die metrischen Komponenten$g_{\mu\nu}$.

Für ganz allgemeine Fassungen: Die metrischen Komponenten$g_{ab}$, und die Beziehung zwischen einem beliebigen Koordinatenrahmen und dem allgemeinen Rahmen, der ist$e^\mu_a$oder$\theta^a_\mu$($\theta^a=\theta^a_\mu dx^\mu$,$e_a=e^\mu_a\partial_\mu$).

Für orthonormale Rahmen: Die Beziehung zwischen einem beliebigen Koordinatenrahmen und dem orthonormalen Rahmen. Warum? Weil wenn$\theta^a_\mu$ist dann gegeben$g_{\mu\nu}=\eta_{ab}\theta^a_\mu\theta^b_\nu$.

Sie können also sehen, dass trotz der Tatsache, dass alle Frames nur Werkzeuge sind und keine physikalische / geometrische Relevanz haben und daher alle Frames gleich gut sind, die Angabe eines Frames und die Forderung, dass er orthonormal ist, tatsächlich eine Metrik ergibt ! Es gibt einen wertvollen Informationsgehalt in der Tatsache, dass ein Rahmen orthonormal ist, und diese Information geht verloren, wenn wir einen allgemeinen Rahmen verwenden.

Wir können diesen Begriff natürlich in die Sprache der Transformation fassen, indem wir anmerken, dass bei einem gegebenen Anfangsframe ein System orthonormaler Frames konstruiert werden kann, indem wir fordern, dass sich zwei gültige Frames durch eine Lorentz-Transformation unterscheiden:$e_{a'}=\Lambda^a_{\ a'}e_a.$Also, trotz der Tatsache, dass irgendwelche$GL(n,\mathbb{R})$-wertige Transformation ist eine gute Rahmentransformation, die Lorentz-wertigen Transformationen sind etwas Besonderes. Ein System von Frames, für das Lorentz-Transformationen erlaubt sind, spezifiziert nur eine Metrik eindeutig. Die damit verbundene Aussage in der modernen, invarianten Differentialgeometrie wäre, dass jede Reduzierung des Rahmenbündels$F(M)$'S$GL(n,\mathbb{R})$in eine verallgemeinerte orthogonale Gruppe ergibt eindeutig eine semi-riemannsche Metrik.

Sie diskutieren wohl über die spezielle Relativitätstheorie. In diesem Fall besteht die natürlichste Geometrisierung darin, diese Raumzeit zu postulieren$\mathcal{S}$ist ein reeller affiner Raum der Dimension 4 mit quadratischer Signaturform$(+,-,-,-)$. Alles folgt, darunter die beiden grundlegenden Aspekte, die es zu studieren gilt:

• die Gruppe$\mathcal{P}$von affinen Transformationen, die die quadratische Form invariant lassen (von Physikern als Poincaré-Gruppe bezeichnet);
• Es gibt eine unendliche Rahmenfamilie, bei der die quadratische Form eine Matrix hat$\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$. Jeweils zwei solcher Frames werden durch ein Element von aufeinander abgebildet$\mathcal{P}$.

Der erste Punkt betrifft das, was Physiker eine aktive Transformation nennen würden, während der zweite eine passive Transformation genannt würde.

Sie haben nach Lorentz-Transformationen gefragt: wie immer für eine Gruppe affiner Transformationen,$\mathcal{P}$ist das halbdirekte Produkt der Untergruppe von Übersetzungen und einer Gruppe$\mathcal{L}$von linearen Transformationen im Vektorraum$S$verknüpft mit$\mathcal{S}$. Dann$\mathcal{L}$heißt Lorentzgruppe.

Beachten Sie abschließend, wenn es nicht ganz offensichtlich war, dass dies der affinen euklidischen Geometrie und den Isometrien völlig ähnlich ist: Der einzige Unterschied ist die Signatur der quadratischen Form, die positiv definit ist, und natürlich, dass die Dimension 3 ist und nicht 4.

Zunächst einmal: Nicht alle Koordinatentransformationen bewahren die Metrik. Betrachten Sie als einfaches Beispiel$\mathbb R^2$unter transformiert

Lorentz-Transformationen sind das direkte Analogon zur Minkowski-Metrik: Es gibt viele Transformationen, die sie nicht respektieren (wie die Galilean-Frame-Transformationen, die genau so aussehen$(1)$oben) und eine eingeschränkte Menge „guter“ Transformationen, die die Metrik respektieren. Die Menge der letzteren ist per Definition die Menge der Lorentz-Transformationen, und sie ist ein ebenso entscheidendes Werkzeug wie orthogonale Transformationen für das Studium des euklidischen Raums.

Wenn ich mir Ihre Frage ansehe, habe ich wohl eine einfache Antwort. Wenn sich zwei Beobachter in einem bestimmten Koordinatenrahmen befinden (kartesische Polarität usw.) und sie die Position und Geschwindigkeit des Energieimpulses wissen möchten, verwenden sie Lorentz transformieren, um die Position, Geschwindigkeit, Energie, Impuls des anderen herauszufinden. Wenn sich jedoch ein Beobachter im kartesischen und der andere im polaren Rahmen befindet, müssen sie auch die Koordinatentransformation von polar nach kartesisch oder umgekehrt vornehmen. Wir verwechseln oft zwischen Koordinatenrahmen und Referenz Rahmen. Es gibt einen feinen Unterschied. Koordinatenrahmen wie das kartesische polare zylindrische System. Aber der Referenzrahmen ist der Beobachterrahmen. Wir können den Referenzrahmen quantifizieren, indem wir jede Art von Koordinatenrahmen verwenden

Was Sie vergessen, ist, dass es in der Minkowski- Raumzeit eine Art spezielle Koordinaten gibt, die sogenannten Beobachterkoordinaten oder Normalkoordinaten in der Differentialgeometrie, und wir können zeigen, dass es eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen diesen Koordinaten und einem Inertial gibt Beobachter. Der Punkt hier ist, sich bewusst zu sein, dass Komponenten von Tensoren in diesen speziellen Koordinaten gleich dem sind, was der Beobachter, der mit diesen Koordinaten verbunden ist, misst. Das Ändern dieser speziellen Koordinaten ist also dasselbe wie das Ändern von Beobachtern .

Als Beispiel annehmen$F=F_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ist der elektromagnetische Tensor in einer dieser speziellen Koordinaten, die einem Beobachter zugeordnet sind$O$. Dann wissen wir das zum Beispiel$E_1=F_{11}$ist die erste Komponente des elektrischen Feldes. Wenn wir die Koordinaten ändern, haben wir$F=F_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=F'_{\mu \nu}dx'^{\mu}dx'^{\nu}$. Wenn jetzt$F'_{\mu \nu}$Durch Lorentz-Koordinatentransformation erhalten, wissen wir, dass ein anderer Beobachter$O'$Diesen Koordinaten zugeordnet, wird als erste Komponente des elektrischen Feldes gemessen$E'=F'_{1 1}$.

Anstatt also die gesamte Maschinerie der Differentialgeometrie zu verwenden, verwenden Physiker diesen Koordinatenansatz, der einfacher ist.