6 unabhängige Einstein-Feldgleichungen?

Question

6 unabhängige Einstein-Feldgleichungen?

Physik
Eichinvarianz
Koordinatensystem
generelle Relativität
Differentialgeometrie
Diffeomorphismus-Invarianz

Anekdote

Ich kann den Kommentar auf Seite 409, Gravitation, von Misner, Thorne, Wheeler nicht verstehen

Daraus folgt, dass die zehn Komponenten $G_{\alpha\beta} =8\pi T_{\alpha\beta}$ der Feldgleichung darf nicht alle zehn Komponenten vollständig und eindeutig bestimmen $g_{\mu\nu}$ der Metrik.

Auf dem Land, $G_{\alpha\beta} =8\pi T_{\alpha\beta}$ muss den zehn nur sechs unabhängige Beschränkungen auferlegen $g_{\mu\nu}(\mathcal{P})$ , wobei vier willkürliche Funktionen verbleiben, die durch die Spezialisierung des Menschen auf die vier Koordinatenfunktionen eingestellt werden müssen $x^{\alpha}(\mathcal{P})$ .

Ich kann es nicht verstehen. Ich denke, wir können die Feldgleichung immer mit geeigneten Anfangs-/Randbedingungen lösen, um eindeutig zu werden $g_{\mu\nu}$ . Schließlich sind das nur Differenzialgleichungen zweiter Ordnung. Um genau zu sein, lassen Sie mich versuchen, ein Gegenbeispiel zu konstruieren, die Vakuum-Einstein-Gleichung,

G_{μ v} = 0

$G_{\mu\nu}=0$ Wenn wir die Anfangsbedingungen anwenden

g_{μ ν} |_{t = 0} = η_{μ ν}

$g_{\mu\nu}|_{t=0}=\eta_{\mu\nu}$ Und

{\dot{g}}_{μ ν} |_{t = 0} = 0

${\dot{g}_{\mu\nu}}|_{t=0} =0$ , offensichtlich die flache Raumzeit

g_{μ ν} = η_{μ ν}

$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ sollte die Lösung sein. Wenn die Lösung

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ ist einzigartig, was ist die alternative Lösung?

Wenn es eine alternative Lösung gibt, kommt sie von der "Spezialisierung der vier Koordinatenfunktionen"?

Update : user23660 hat eine explizite Alternativlösung erstellt, nämlich

G_{00} = (F^{'} (T))^{2}, G_{ich J} = - δ_{ich J}

$g_{00}=(f'(t))^2,\quad g_{ij}=-\delta_{ij}$ wobei andere Komponenten Null sind.

Die Funktion $f$ muss nur befriedigen $f'(0)=1,f''(0)=0$ , wodurch diese Metrik mit den Ausgangsdaten kompatibel ist; Ansonsten ist es völlig willkürlich! Und wir sehen, dass es von der Koordinatentransformation kommt $t=f(\tau)$

Um die Lösung zu bekommen $\eta_{\mu\nu}$ , müssen wir der Metrik weitere Einschränkungen direkt in diesem Koordinatensystem auferlegen, z $g_{00}=1,g_{0i}=0$ .

Diese redundanten Freiheitsgrade (Gauge) ergeben sich aus der kontrahierten Bianchi-Identität, wie im folgenden Absatz in MTW Seite 409 erläutert,

G^{a β}_{; β} = 0

$G^{\alpha\beta}{}_{;\beta}=0$ gilt automatisch und damit auch die Bewegungsgleichung der Materiefelder

T^{α β}_{; β} = 0

$T^{\alpha\beta}{}_{;\beta}=0$ schränkt die Entwicklung der Metrik nicht wirklich ein. Daher gibt es nur 6 unabhängige Gleichungen!

JoshPhysik

Ich habe diese Frage (v2) dreimal gelesen und muss zugeben, dass mir immer noch unklar ist, was Ihre Verwirrung ist.

Anekdote

@joshphysics, sorry, vielleicht ist es nicht richtig formuliert. Meine Frage in einfachen Worten ist: Lässt sich feststellen

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ eindeutig durch Verwendung der Einstein-Gleichung? MTW sagt, dass wir das nicht können

⟹

$\implies$ es muss eine alternative Lösung zu meinem konkreten Beispiel geben, was ist das?

Prahar

Was ist mit der Schwarzschild-Lösung? Ist das nicht eine Lösung für

G_{μ ν} = 0

$G_{\mu\nu} = 0$ ? Es tut mir leid, ich denke, dass ich, wie @joshphysics, Ihre Verwirrung nicht verstehen kann.

Anekdote

@Prahar, die Schwarzschild-Lösung erfüllt die Anfangsbedingung nicht

g_{μ ν} |_{t = 0} = η_{μ ν} = (- 1, 1, 1, 1)

$g_{\mu\nu}|_{t=0} = \eta_{\mu\nu} = (-1,1,1,1)$

Anekdote

@josphysics, ich habe meine Frage umformuliert. Entschuldigung, die Dinge sind vage in meinem Kopf und ich kann es nicht klar in Worte fassen.

MBN

Natürlich bestimmen geeignete Anfangs-/Randbedingungen eine eindeutige Lösung. Davon reden sie nicht. Sie sagen, dass die zehn Gleichungen in gewissem Sinne nicht unabhängig sind, es gibt versteckte Beziehungen, und tatsächlich gibt es nur sechs unabhängige Gleichungen. Natürlich vereinfache ich die Dinge zu sehr. Die folgenden beiden Absätze sowie der vorangehende geben einige Erklärungen. Ich würde sagen, mach dir nicht zu viele Gedanken.

Anekdote

@MBN, die verborgenen Beziehungen sind eine vertraglich vereinbarte Bianchi-Identität, wie im nächsten Absatz ausgeführt wird; aber ich verstehe nicht, warum es mit der Koordinatentransformation zusammenhängt.

Diffeomorphismus

diese 4 Freiheitsgrade beziehen sich auf Änderungen in den lokalen Rahmenkoordinaten. Denken Sie daran, dass Sie, wenn Sie Ihr Verbein von Punkt zu Punkt drehen, immer noch denselben physischen Raum haben, aber die Koordinaten sind anders beschriftet

Antworten (1)

6 unabhängige Einstein-Feldgleichungen?

Ich habe diese Frage (v2) dreimal gelesen und muss zugeben, dass mir immer noch unklar ist, was Ihre Verwirrung ist.
@joshphysics, sorry, vielleicht ist es nicht richtig formuliert. Meine Frage in einfachen Worten ist: Lässt sich feststellen $g_{\mu\nu}$ eindeutig durch Verwendung der Einstein-Gleichung? MTW sagt, dass wir das nicht können $\implies$ es muss eine alternative Lösung zu meinem konkreten Beispiel geben, was ist das?
Was ist mit der Schwarzschild-Lösung? Ist das nicht eine Lösung für $G_{\mu\nu} = 0$ ? Es tut mir leid, ich denke, dass ich, wie @joshphysics, Ihre Verwirrung nicht verstehen kann.
@Prahar, die Schwarzschild-Lösung erfüllt die Anfangsbedingung nicht $g_{\mu\nu}|_{t=0} = \eta_{\mu\nu} = (-1,1,1,1)$
@josphysics, ich habe meine Frage umformuliert. Entschuldigung, die Dinge sind vage in meinem Kopf und ich kann es nicht klar in Worte fassen.
Natürlich bestimmen geeignete Anfangs-/Randbedingungen eine eindeutige Lösung. Davon reden sie nicht. Sie sagen, dass die zehn Gleichungen in gewissem Sinne nicht unabhängig sind, es gibt versteckte Beziehungen, und tatsächlich gibt es nur sechs unabhängige Gleichungen. Natürlich vereinfache ich die Dinge zu sehr. Die folgenden beiden Absätze sowie der vorangehende geben einige Erklärungen. Ich würde sagen, mach dir nicht zu viele Gedanken.
@MBN, die verborgenen Beziehungen sind eine vertraglich vereinbarte Bianchi-Identität, wie im nächsten Absatz ausgeführt wird; aber ich verstehe nicht, warum es mit der Koordinatentransformation zusammenhängt.
diese 4 Freiheitsgrade beziehen sich auf Änderungen in den lokalen Rahmenkoordinaten. Denken Sie daran, dass Sie, wenn Sie Ihr Verbein von Punkt zu Punkt drehen, immer noch denselben physischen Raum haben, aber die Koordinaten sind anders beschriftet

Benutzer23660 · Answer 1

Natürlich die Metrik $\eta_{\mu\nu}$ ist keine eindeutige Lösung für Einstein-Vakuumgleichungen, die mit Ihren gegebenen Anfangsdaten kompatibel ist. Und ja, wir können die Alternativen als aus Koordinatenfunktionen hervorgehend interpretieren.

Nehmen wir die einfachste dieser Funktionen: Definieren Sie die Zeit neu, indem Sie eine neue 'Zeit'-Variable einführen $\tau$ durch eine Beziehung $t=f(\tau)$ (räumliche Koordinaten behalten wir bei). Die Metrik in neuen Koordinaten $(\tau,x,y,z)$ wäre

D S^{2} = (F^{'} (τ))^{2} D τ^{2} - δ_{ich J} D X^{ich} D X^{J} .

$ds^2=(f'(\tau))^2 d\tau^2 - \delta_{ij}dx^i dx^j.$ Es ist offensichtlich eine andere Metrik . Und durch die Wahl der Funktion

f

$f$ einige einfache Bedingungen erfüllen (

f (0) = 0

$f(0)=0$ ,

f^{'} (0) = 1

$f'(0)=1$ ,

f^{″} (0) = 0

$f''(0)=0$ ) ist dieser Messwert mit Ihren Ausgangsdaten kompatibel.

Aber gleichzeitig ist es ebenso offensichtlich, dass diese Metrik immer noch der gleichen Raumzeit entspricht – der Minkowski-Raumzeit (zumindest lokal).

Zusatz . Um eine Lösung von Einstein-Gleichungen eindeutig zu machen, kann man Koordinatenbedingungen verwenden (die analog zu den Fixierungsbedingungen in der EM-Theorie sind). Diese wirken als Einschränkungen für Metriken, die zusätzlich zu den Einstein-Gleichungen auferlegt werden.

Wenn Sie an der anfänglichen Daten-Zeit-Evolutionsformulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie interessiert sind, empfehle ich Ihnen, sich den ADM-Formalismus anzusehen .

danke für deine antwort. Das beweist du ${\bf g}=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ ist nicht einzigartig. Beschränken wir uns aber auf das Koordinatensystem auf sein $(t,x,y,z)$ , denken Sie, die einzelnen Komponenten Lösung $g_{\mu\nu}$ sind einzigartig oder nicht?
Siehe Ergänzung. Um die Koordinatentransformation aus meinem Beispiel zu beschränken, um nur zu produzieren $\eta_{\mu\nu}$ Sie können verlangen, dass die Koordinaten synchron sind . Aber dies sind Bedingungen für die Metrik: $g_{00} = 1$ , $g_{0i}=0$ , nicht nur Koordinaten.
Genau das frage ich. Wenn ich also die Metrik nicht einschränke (dh ich gebe das Messgerät nicht an), sondern verwende die $(t,x,y,z)$ koordinieren, um meine Lösung am Ende auszudrücken, ist diese Lösung einzigartig? Die Lösung, die Sie in der gegeben haben $(t,x,y,z)$ Koordinate ist die gleiche wie $\eta_{\mu\nu}$ falls ausgedrückt in $(t,x,y,z)$ Koordinatensystem.
Für den Eichzustand kann ich in E & M das Vektorpotential ändern $\vec{A}$ Zu $\vec{A}+\nabla \Lambda$ ohne die Anfangsdaten und die Gleichungen zu verderben: Das sind die redundanten Freiheitsgrade, dh die Lehre. Aber in diesem Fall, wie können Sie ändern $g_{\mu\nu}$ eine Funktion sein $h_{\mu\nu}$ im selben Koordinatensystem, das die Gleichung mit denselben Anfangsbedingungen löst?
Das 'Angeben von Koordinaten' ohne Metrik ist nur Topologie, daher wären lokale Koordinaten immer ein Teil davon $\mathbb{R}_4$ , es gibt keine Einschränkungen für die Metrik, also nein $\eta_{\mu\nu}$ ist in diesem Fall nicht eindeutig.
Abhängig von $\Lambda$ , Spur Transformation kann die Anfangsdaten ändern. In GR können also allgemeine Koordinatentransformationen Anfangsdaten ungültig machen, aber wenn wir sie einschränken, um sie intakt zu halten, werden sie andere Lösungen erzeugen. Und natürlich behalten Koordinatentransformationen die gleiche Form von Gleichungen bei, die schließlich die allgemeine Kovarianz ist.
Ich stimme zu, dass es vor Ort immer ist $\mathbb{R}_4$ , gibt es keine lokalen Einschränkungen für die Metrik, mathematisch sind alle diese Metriken in den Matrixformen durch eine kongruente Transformation verbunden. Beachten Sie, dass meine Anfangsbedingungen der globalen Metrik Einschränkungen auferlegen, die die Entwicklung der Metrik in diesem Koordinatensystem einzigartig machen sollten. Was ist also die alternative Lösung in diesem Koordinatensystem, wenn nicht eindeutig?

6 unabhängige Einstein-Feldgleichungen?

Anekdote

JoshPhysik

Anekdote

Prahar

Anekdote

Anekdote

MBN

Anekdote

Diffeomorphismus

Antworten (1)

Benutzer23660

Anekdote

Benutzer23660

Anekdote

Anekdote

Benutzer23660

Benutzer23660

Anekdote

Benutzer23660

Wie unterscheiden sich FRW-Metrik und Minkowski-Metrik physikalisch?

Diffeomorphismusinvarianz und geodätische Wirkung

Sind in der allgemeinen Relativitätstheorie zwei pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten physikalisch äquivalent, wenn sie isometrisch oder nur diffeomorph sind?

Interpretation normaler Koordinaten

Auf Christoffel-Symbol- und Vektorfeldern

Warum ist die absolute Steigung des metrischen Tensors ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 in jedem Koordinatensystem? [Duplikat]

Was ist der Unterschied zwischen der Diffeomorphismus-Invarianz und der Reparametrisierungs-Invarianz?

Schwarzschild-Metrik: Koordinatenänderung entspricht Objektänderung?

Zeigen Sie, dass zwei Kurvenscharen orthogonal sind (ohne orthogonale Trajektorien zu verwenden)

Lokal flache Koordinaten und Christoffel-Symbole