Was ist der Unterschied zwischen der Diffeomorphismus-Invarianz und der Reparametrisierungs-Invarianz?

Diffeomorphismus-Invarianz

Lassen$M$eine glatte Mannigfaltigkeit sein. Lassen$\phi: M \to M$ein Diffeomorphismus sein. Eine einfache Eigenschaft der Einstein-Gleichungen ist

$$g \in \otimes^2 TM \text{ is solution to vacuum Einstein equation} \implies \text{ so is } \phi^*g$$

Um zu sehen, dass dies wahr ist, ziehen Sie einfach beide Seiten der Einstein-Gleichung um zurück$\phi$, und verwenden Sie die Eigenschaft des Ricci-Tensors$\phi^*Ric_{(g)} = Ric_{(\phi^*g)}$.

Du hast eine Familie$[g] \equiv \{\phi^*g | \phi \in Diff^+(M)\}$von Riemannschen Strukturen auf Ihrer Mannigfaltigkeit, die dieselbe Physik beschreiben sollen. Dies würde ich den Begriff der Diffeomorphismus-Invarianz in der Allgemeinen Relativitätstheorie nennen.

Reparametrisierungsinvarianz

Eine Parametrisierung einer Mannigfaltigkeit$M$durch einen anderen Verteiler$N$ist ein Diffeomorphismus$\varphi: M \to N$.$N$parametrisiert$M$in dem Sinne, dass a Punkte$p \in M$reibungslos übereinstimmen Punkte in$\varphi(p) \in N$.

Reparametrisierungsinvarianz bedeutet normalerweise ein Szenario, in dem die Wahl dieses Diffeomorphismus erfolgt$\varphi \in Diff(M \to N)$spielt keine Rolle.

Hier ist ein einfaches Beispiel dafür, was man Reparametrisierungsinvarianz nennen könnte.

Nehmen Sie eine glatte Kurve$\gamma: [0, 1] \to M$, und nehme das an$\gamma$löst die geodätische Gleichung. Lassen$\gamma': [0, 1] \to M$eine andere Kurve sein, haben wir die folgende (triviale) Tatsache

$$\text{ $image(\gamma') = image(\gamma)$ } \implies \gamma' \text{ is also a geodesic}$$

Das heißt, die geodätische Gleichung (Längenfunktion, nicht Energiefunktion) kümmert sich nicht darum, wie Sie Ihre Kurve parametrisieren.

Manchmal sind sie dasselbe

Zusammenfassend habe ich bisher die Diffeomorphismus-Invarianz als eine Aussage über Riemannsche Strukturen auf einer Mannigfaltigkeit und die Reparametrisierungs-Invarianz als eine Aussage über die Diffeomorphismen von einer Mannigfaltigkeit zu einer anderen dargestellt. Es gibt einige Szenarien, in denen diese scheinbar unterschiedlichen Vorstellungen wirklich dasselbe sind.

Beispiel 1: Kurvenumparametrierung

Betrachten Sie unsere Beschreibung der auf a angewendeten Diffeomorphismus-Invarianz$1$-Verteiler. Riemannsche Strukturen auf$1$-Mannigfaltigkeiten sind äquivalent zu Reparametrisierungen der Kurve. Das Zurückziehen des Riemannschen inneren Produkts auf dem Tangentenbündel durch eine glatte Abbildung entspricht einer glatten Neuparametrierung der Kurve. Unser Begriff der Diffeomorphismus-Invarianz und der Reparametrisierungs-Invarianz ist also dasselbe.

Beispiel 2: Modulraum geschlossener orientierbarer Flächen

Lassen$\Sigma$eine geschlossene orientierbare Fläche sein. Angenommen, wir interessieren uns für den Raum$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n}$aller Untermannigfaltigkeiten von$\mathbb R^n$diffeomorph zu$\Sigma$.

Eine Möglichkeit, diesen Raum explizit zu machen, besteht darin, Diffeomorphismen zu berücksichtigen

$$e: \Sigma \to \mathbb R^n$$

Aber einige dieser Diffeomorphismen bilden in derselben Untermannigfaltigkeit ab$\mathbb R^n$. Dies sind genau die Diffeomorphismen, die durch eine Präkomposition mit Diffeomorphismus auf der Oberfläche selbst verbunden sind. Daher haben wir eine Beschreibung unseres Modulraums als Äquivalenzklassen von Diffeomorphismen

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq E \equiv \{e: \Sigma \to \mathbb R^n\}/\sim~~~ e \sim f \iff e = f \circ \phi ~~ \text{ for some } \phi \in Diff(\Sigma)$$

Jetzt gib$\mathbb R^n$die übliche euklidische Metrik$g_{\mathbb R^n}$. Ein Diffeomorphismus$e: \Sigma \to \mathbb R^n$zieht die Metrik auf zurück$\Sigma$über$g_e \equiv e^*g_{\mathbb R^n}$. Beobachten:

$$g_{e \circ \phi} = (e \circ \phi)^*g = \phi^*g_e$$

Vor allem wann$\phi \in Diff(\Sigma)$, dies besagt, dass Pullbacks durch Homöomorphismen in derselben Äquivalenzklasse durch Pullbacks durch Homöomorphismen auf der Oberfläche zusammenhängen. Daher ist eine andere äquivalente Beschreibung des Modulraums

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq F \equiv \{g \text{ metric on } \Sigma\}/\sim~~~ g \sim h \iff g = \phi^*h ~~ \text{ for some } \phi \in Diff(\Sigma)$$

Zusammenfassend fanden wir

$$Mod_{\Sigma, \mathbb R^n} \simeq E \simeq F$$

Jetzt beobachten

• Die Äquivalenzrelation in$E$ist die Identifizierung von Homöomorphismen, die das gleiche Bild haben. Wir würden dies Reparametrisierungsinvarianz nennen.
• Die Äquivalenzrelation in$F$ist Pullback der Metrik durch Diffeomorphismen auf$\Sigma$. Wir würden diese Diffeomorphismus-Invarianz nennen.

Mit anderen Worten, in diesem Fall ist die Diffeomorphismus-Invarianz eine Manifestation der Reparametrisierungs-Invarianz im Raum der Riemannschen Metriken.