Lokal flache Koordinate und lokaler Trägheitsrahmen

Question

Lokal flache Koordinate und lokaler Trägheitsrahmen

anonym67

Ich habe einige Zweifel an mir selbst bezüglich der obigen Konzepte in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Zunächst möchte ich darauf hinweisen, wie ich sie bisher verstehe.

Ein männlicher Beobachter folgt einer zeitähnlichen Weltlinie ( $\gamma$ ) in der Raumzeit (weil er eine Eigenzeit haben muss). Er hat einen Rahmen für sich.

Eine Koordinate ist eine Reihe von Zahlen, die der Beobachter verwendet, um die Raumzeit in seinem Rahmen zu beschreiben (was eine andere Art ist, die Raumzeit in seiner Sicht zu sagen).

Die lokal flache Koordinate eines Beobachters zu einem Zeitpunkt ( $s\in\gamma$ ) ist die Koordinate (natürlich seines Rahmens), in der er den metrischen Tensor in einer Nachbarschaft seiner Position als flache Metrik sieht (Christoffel-Symbole verschwinden):

G_{μ v} (S) = η_{μ v}

$g_{\mu\nu}(s)=\eta_{\mu\nu}$

Γ_{μ v}^{ρ} (S) = 0

$\Gamma_{\mu\nu}^\rho(s)=0$

Diese Koordinate hängt vom Beobachter ab und wird natürlich von ihm verwendet.

Nun ist ein lokal inertialer Rahmen ein Rahmen eines beliebigen frei fallenden Beobachters oder eines beliebigen Beobachters, der einer geodätischen ( $l$ ). Er kann die lokal flache Koordinate seiner selbst verwenden oder nicht verwenden. Aber er hat eine ganz besondere Koordinate, die an jedem Punkt seiner Weltlinie lokal flach ist:

\forall S \in l :

$\forall s\in l:$

G_{μ v} (S) = η_{μ v}

$g_{\mu\nu}(s)=\eta_{\mu\nu}$

Γ_{μ v}^{ρ} (S) = 0

$\Gamma_{\mu\nu}^\rho(s)=0$

Habe ich ein Missverständnis oder eine falsche Verwendung von Terminologie?

Jetzt sollte es einen frei fallenden Beobachter geben $A$ (mit seiner speziellen Koordinate) und seine Wortleitung kreuzt die Wortleitung eines anderen (nicht frei fallenden) Beobachters $B$ . Und kann ich am Kreuzungspunkt glauben, dass die beiden Koordinaten (von zwei Frames) so gewählt werden können, dass sie lokal identisch (oder gleich) sind (dh es gibt eine lineare Transformation, die lokal ineinander transformiert)?

Levitopher

Ich glaube, dass die Ableitungen der Metrik auch im lokal inertialen Rahmen verschwinden müssen, was für den lokal flachen Rahmen nicht gilt.

anonym67

In meiner Terminologie gibt es keinen lokal flachen Rahmen. Es gibt nur lokal flache KOORDINATEN eines Rahmens, und dieser Rahmen kann ein örtlicher Trägheitsrahmen sein oder nicht.

Levitopher

Das sollte dasselbe sein. Sie können die Koordinaten so wählen, dass die Metrik in diesen Koordinaten flach ist. Ich glaube nicht, dass diese beiden Entscheidungen gleichzeitig getroffen werden können, da die Ableitungen im lokal flachen Fall nicht unbedingt Null sind.

anonym67

ich dachte

Γ = 0

$\Gamma = 0$ ist die notwendige Bedingung, dass die partielle Ableitung Null ist? Können Sie einen Link zur Definition des lokalen Trägheitsrahmens verweisen?

Christoph

Folgefrage: Was passiert, wenn der Beobachter stattdessen weiblich ist? ;)

Levitopher

Γ

$\Gamma$ ist eine Summe von metrischen Ableitungen, könnte also Null sein, ohne dass die Ableitungen selbst Null sind. Ich denke, es ist richtiger zu sagen, dass "die ersten Ableitungen der Metrik verschwinden", anstatt

Γ = 0

$\Gamma=0$ . Kann mich da jemand korrigieren?

Levitopher

Weiter: Reden Sie von Fermi-Normalkoordinaten? en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates

anonym67

Fermi-Koordinaten, ja, glaube ich. Es ist genau die spezielle Koordinate, die ich erwähnt habe.

anonym67

@levitopher Ich dachte, alle Christoffel-Symbole verschwinden bedeuten genau, dass alle partiellen Ableitungen erster Ordnung verschwinden?

Levitopher

Unter bestimmten Umständen mag es dafür ein Argument geben, aber da

Γ = A + B - C

$\Gamma = A+B-C$ , Wo

A

$A$ ,

B

$B$ , Und

C

$C$ sind Ableitungen erster Ordnung der Metrik,

Γ = 0

$\Gamma=0$ bedeutet nicht

A = B = C = 0

$A=B=C=0$ . Zum Beispiel,

A = x

$A=x$ ,

B = x

$B=x$ ,

C = 2 x

$C=2x$ .

Antworten (4)

Lokal flache Koordinate und lokaler Trägheitsrahmen

Ich glaube, dass die Ableitungen der Metrik auch im lokal inertialen Rahmen verschwinden müssen, was für den lokal flachen Rahmen nicht gilt.
In meiner Terminologie gibt es keinen lokal flachen Rahmen. Es gibt nur lokal flache KOORDINATEN eines Rahmens, und dieser Rahmen kann ein örtlicher Trägheitsrahmen sein oder nicht.
Das sollte dasselbe sein. Sie können die Koordinaten so wählen, dass die Metrik in diesen Koordinaten flach ist. Ich glaube nicht, dass diese beiden Entscheidungen gleichzeitig getroffen werden können, da die Ableitungen im lokal flachen Fall nicht unbedingt Null sind.
ich dachte $\Gamma = 0$ ist die notwendige Bedingung, dass die partielle Ableitung Null ist? Können Sie einen Link zur Definition des lokalen Trägheitsrahmens verweisen?
Folgefrage: Was passiert, wenn der Beobachter stattdessen weiblich ist? ;)
$\Gamma$ ist eine Summe von metrischen Ableitungen, könnte also Null sein, ohne dass die Ableitungen selbst Null sind. Ich denke, es ist richtiger zu sagen, dass "die ersten Ableitungen der Metrik verschwinden", anstatt $\Gamma=0$ . Kann mich da jemand korrigieren?
Weiter: Reden Sie von Fermi-Normalkoordinaten? en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates
Fermi-Koordinaten, ja, glaube ich. Es ist genau die spezielle Koordinate, die ich erwähnt habe.
@levitopher Ich dachte, alle Christoffel-Symbole verschwinden bedeuten genau, dass alle partiellen Ableitungen erster Ordnung verschwinden?
Unter bestimmten Umständen mag es dafür ein Argument geben, aber da $\Gamma = A+B-C$ , Wo $A$ , $B$ , Und $C$ sind Ableitungen erster Ordnung der Metrik, $\Gamma=0$ bedeutet nicht $A=B=C=0$ . Zum Beispiel, $A=x$ , $B=x$ , $C=2x$ .

Giulio Bullsaver · Answer 1

Im allgemeinsten Fall, der von der allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben wird, ist es nicht möglich, a zu finden $neighbourhood$ von Koordinaten abgedeckt $x^\mu$ so dass $g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu}$ in allen U. Wenn es so wäre, hätten Sie einen Null-Riemann-Tensor, daher wäre die Raumzeit in allen U flach. Sie können Raumzeiten mit solchen flachen Stücken haben (ich denke, es ist kein Problem, dieses Stück mit zu kleben nicht flache Stücke, aber ich kann mich irren), aber das ist nicht der allgemeinste Fall und nicht das, was gemeint ist, wenn wir sagen, dass die Raumzeit lokal flach ist.

Was wir meinen, ist, dass der Tangentialraum in jedem Punkt die Minkowski-Raumzeit ist.

Dies bedeutet, dass Sie für jeden Punkt p eine Basis für den Tangentialraum bei p (und die zugehörigen "exponentiellen" Koordinaten) finden können, sodass die Metrik in diesen Koordinaten an diesem Punkt p diag (-, +, +, +) ist und die Konnektionskoeffizienten verschwinden an dieser Stelle (nicht in einer Nachbarschaft!)

Sie können sich diese Koordinaten als die eines Trägheitsbeobachters vorstellen. Beachten Sie, dass es mehrere mögliche Koordinaten gibt, die durch eine Lorentz-Transformation im Tangentialraum in Beziehung stehen und verschiedenen Beobachtern zugeordnet sind.

Inwiefern kann man sich diese Koordinaten als die eines inertialen Beobachters vorstellen? In dem Sinne, dass Sie, solange Sie eine ausreichend kleine Umgebung von p abdecken, deren Dimension "kleiner ist, je größer der Riemann-Tensor bei p ist", alles, was hier passiert, so beschreiben können, als ob Sie in der speziellen Relativitätstheorie wären. Eines davon sind vor allem die Geodäten der Form $d/dt^2 x(\tau) = 0$ und nicht gegeneinander beschleunigen. Natürlich tun sie das tatsächlich, aber diese Effekte sind klein, wenn man die kleine Nachbarschaft von p und den kleinen Riemann bei p betrachtet.

Analog ist die Erde an einem Punkt in dem Sinne flach, dass Sie den flachen Tangentenraum mit der tatsächlichen Nachbarschaft "verwechseln" können, da die Unterschiede bei ausreichendem Zoom schwer zu erkennen sind.

Levitopher · Answer 2

Angesichts unserer klärenden Diskussionen glaube ich, dass die Antwort ja ist.

Ich habe hier einen schönen Abschnitt über Fermi-Normalkoordinaten gefunden (Abschnitt 9):

http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2011-7/fulltext.html

Dies scheint das zu sein, was Sie mit "lokalen Trägheitskoordinaten" meinen - die Tetrade ist orthonormal mit einer Richtung entlang der Kurve und die anderen entlang raumartiger Kurven orthogonal zur Kurve.

Da Sie Fermi-Normalkoordinaten überall auf einer zeitähnlichen Geodäte definieren können, definieren Sie sie am Schnittpunkt zweier Geodäten. Diese definieren eine flache Metrik, daher gibt es keinen Grund, warum Sie diese Metrik nicht als Tetrade für den anderen Beobachter am selben Punkt auswählen könnten.

Bild357 · Answer 3

Befindet sich der Beobachter nicht im freien Fall, ist der Metrik-Tensor $g_{\mu,\nu}(s)$ an der Position des Beobachters, ausgedrückt in lokalen Koordinaten um den Beobachter herum, nicht sein $\eta_{\mu,\nu}$ . Ihre erste Annahme über den Pfad $(\gamma)$ ist falsch.

Ich denke, worauf Sie abzielen, ist der Begriff des Koordinatenraums um einen Punkt, der in der Tat ein flacher Raum ist (da er (pseudo-) euklidisch ist). Dieser Raum dient jedoch nur dazu, Koordinaten in eine offene Teilmenge Ihrer Mannigfaltigkeit durch eine Abbildung einzuführen, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge dieses (pseudo)-euklidischen Raums ist. Das bedeutet, dass die offene Teilmenge Ihrer Mannigfaltigkeit (bis auf Deformationen , also Krümmungen!!!) ziemlich gleich ist wie die (pseudo-)euklidische Teilmenge.

Benutzer122637 · Answer 4

Ich denke, der beste Weg, darüber nachzudenken, ist wie folgt. (Es unterscheidet sich nicht allzu sehr von dem, was alle gesagt haben, kann aber in eine bessere Perspektive gebracht werden).

Die Auswahl eines Referenzrahmens ist eine völlig andere Aufgabe als die Einrichtung von Koordinaten. Um ein Ereignis in der Raumzeit zu beobachten, müssen Sie zu einem Bezugsrahmen gehören (oder äquivalent dazu erstellen Sie einen Bezugsrahmen, sagen wir S, wo $\frac{d \vec{r}_{you}}{dt}$ vom Frame S ist immer 0). Beachten Sie, dass ich noch keine Koordinaten definiert habe. Als nächstes werde ich Koordinaten angeben, nur um die Bewegung anderer Körper bezüglich meines Rahmens zu erklären.

Es ist klar, dass Koordinaten erst definiert werden können, nachdem Sie Ihren Referenzrahmen ausgewählt haben . Wann immer wir eine Raumzeit-Koordinatentransformation durchführen, sagen Sie: $x^\mu\rightarrow x^{\mu}{'}$ , dann ändern wir sicherlich die Frames . Wenn wir jedoch eine Transformation durchführen, ohne dass ein t in den Transformationsgleichungen erscheint , handelt es sich um eine Änderung der Koordinaten .

Als nächstes sind die Bedeutungen der beiden Schlüsselbegriffe nach allem, was ich gelesen oder gefunden habe, wie folgt:

Lokale Trägheits-/flache Koordinaten: Kartesische/euklidische Koordinaten, die um einen Punkt X im allgemein gekrümmten Raum gelegt sind.
Lokal träge Rahmen: Rahmen, die die Verwendung von lokal trägen/flachen Koordinaten als eine der Auswahlmöglichkeiten zulassen

Hoffe das hilft.

Lokal flache Koordinate und lokaler Trägheitsrahmen

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Giulio Bullsaver

Levitopher

Bild357

Benutzer122637

Tensorgleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Lokale Trägheitskoordinaten/Fermi-Normalkoordinaten

Ein Referenzrahmen ist ein beliebiges Koordinatensystem oder nur ein Satz kartesischer Achsen?

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