Klarstellung zur lokalen Lorentztransformation

Aktive Transformation: Die Vektoren und andere geometrische Größen ändern sich.

Passive Transformation: Die Vektoren (mit Ausnahme von Basisvektoren) und andere geometrische Größen ändern sich nicht, aber die Basis (z. B. eine Koordinatenbasis), sodass sich die Komponenten eines Vektors ändern, obwohl der Vektor selbst dies nicht tut.

Lokale Lorentz-Transformation: Die Koordinaten in der Nähe eines Ereignisses in der Raumzeit ändern sich, und wir kommentieren die Koordinaten weit entfernt von diesem Ereignis nicht. Dieses Konzept ist immer eine wohldefinierte Idee in jeder Lorentzschen Mannigfaltigkeit.

Globale Lorentz-Transformation: Die Koordinaten in der gesamten Raumzeit ändern sich durch die gleiche Lorentz-Transformation, die überall angewendet wird. Dies ist in einem gekrümmten Raum nicht immer eine klar definierte Idee.

In Ihrer Frage scheinen Sie ein Durcheinander zwischen global und aktiv zu haben. Es sind verschiedene Ideen.

Hier sind einige konkrete Beispiele, die zusätzliches Licht auf das Problem werfen können. Betrachten wir die Mannigfaltigkeit$\mathcal M = \mathbb R \times \mathrm S^1$, also der Zylinder. Punkte$p\in \mathcal M$kann durch ein Tripel gekennzeichnet werden$(z,a,b)$, Wo$z\in \mathbb R$Und$a^2+b^2=1$. Es ist wichtig, das zu beachten$(z,a,b)$sind nicht die Koordinaten von$p$in irgendeiner Tabelle, da$\mathcal M$ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit.

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Eine lokale, aktive Transformation ist ein Diffeomorphismus$\phi : U \rightarrow U$, Wo$U\subset \mathcal M$ist eine Nachbarschaft. Lassen Sie uns in unserem Fall wählen

$$U := \big\{ (z,a,b) \in \mathbb R \times \mathrm S^1 \ \bigg| \ a > 0\}$$ $$\phi : U \ni (z,a,b) \mapsto (z+1,a,b)$$ In Worten,$\phi$verschiebt nur die Punkte des Verteilers entlang der Zylinderachse um eine Einheit.

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Eine lokale, passive Transformation ist ein Horoskopwechsel. Lassen$x$eine auf der Teilmenge definierte Diagrammabbildung sein$U$wie zuvor definiert durch

$$x:(z,a,b) \mapsto \big(z, \tan^{-1}(b/a)\big)\in \mathbb R^2$$ Nun lass$y$eine andere Karte sein, definiert durch $$y : (z,a,b) \mapsto (z^3, \tan^{-1}(b/a)\big)\in \mathbb R^2$$

Die Diagrammübergangskarte$(y \circ x^{-1}):(z,\theta) \mapsto (z^3 ,\theta)$Karten aus der$x$Koordinaten zu$y$Koordinaten. Dies ist jedoch keine Karte von$U\rightarrow U$; die Punkte$p\in U$gehen eigentlich nirgendwo hin, wir wählen nur verschiedene Labels für sie aus.

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Eine globale, aktive Transformation ist ein Diffeomorphismus$\Phi: \mathcal M\rightarrow \mathcal M$. Als Beispiel könnten wir lassen

$$\Phi :\mathcal M \ni (z,a,b) \mapsto (z,-a,-b)$$

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Eine globale, passive Transformation ist ein Diagrammwechsel, bei dem jedes Diagramm die gesamte Mannigfaltigkeit abdeckt. Ein solches Diagramm ist das folgende:

$$x : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^2-\{(0,0)\}$$ $$(z,a,b) \mapsto (e^za, e^z b)$$ Ein anderes Beispiel wäre $$y: \mathcal M \rightarrow \mathbb R^2-\{(0,0)\}$$ $$(z,a,b) \mapsto (-e^z b, e^z a)$$ Die Diagrammübergangskarte ist$(y \circ x): (\alpha,\beta) \mapsto (-\beta,\alpha)$, was a entspricht$90^\circ$Drehung. Beachten Sie noch einmal, dass dies nicht wirklich das Verschieben von Punkten ist$\mathcal M$um; Es ändert nur die Etiketten.

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Schließlich ist eine Lorentz-Transformation eine, die die Minkowski-Metrik bewahrt. Eine aktive Lorentz-Transformation ist ein (globaler oder lokaler) Diffeomorphismus, der auch eine Isometrie der Minkowski-Metrik ist; Eine passive Lorentz-Transformation ist eine (globale oder lokale) Diagrammänderung, die die Form der Minkowski-Metrik beibehält, dh

$$\frac{\partial x^i}{\partial y^a} \frac{\partial x^j}{\partial y^b} \eta_{ij} = \eta_{ab}$$