Metrischer Tensor in der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie

Beginnen wir am Anfang:

Die Einstellung für die Relativitätstheorie – sei sie speziell oder allgemein – ist, dass die Raumzeit eine Mannigfaltigkeit ist $\mathcal{M}$, dh etwas, das lokal homöomorph zum kartesischen Raum ist$\mathbb{R}^n$($n = 4$im Fall der Relativitätstheorie), aber nicht global.

Solche Mannigfaltigkeiten besitzen einen Tangentialraum $T_p\mathcal{M}$an jedem Punkt, wo die Vektoren leben, von denen man normalerweise spricht. Wenn Sie Koordinaten wählen$x^i$auf der Mannigfaltigkeit, dann ist der Raum der Tangentenvektoren

$$T_p\mathcal{M} := \{\sum_{i=0}^3 c^i \frac{\partial}{\partial x^i} \lvert c^i \in \mathbb{R} \}$$

Wenn wir sagen, dass ein Tupel$(c^0,c^1,c^2,c^3)$ein Vektor ist, meinen wir, der dem Objekt entspricht$c^i\partial_i \in T_p\mathcal{M}$irgendwann$p \in \mathcal{M}$.

Eine Metrik an$\mathcal{M}$kann durch Angabe einer nicht entarteten, bilinearen Form an jedem Punkt angegeben werden

$$g_p : T_p\mathcal{M} \times T_p\mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}$$

Was Sie "allgemein" gelernt haben, ist, dass die Komponenten der Metrik für ausgewählte Basisvektoren gelten$\partial_i$von$T_p\mathcal{M}$, definiert von$g_{ij} = g(\partial_i,\partial_j)$. Sie können die Metrik jetzt tatsächlich als eine Art Skalarprodukt, Einstellung sehen$X \cdot Y := g(X,Y)$für zwei Vektoren$X,Y$. (Dies enthält die Antwort auf Ihr zweites Problem) Aber für nicht-Riemannsche Mannigfaltigkeiten, dh Mannigfaltigkeiten, bei denen nicht alle Einträge in der Metrik positiv sind, ist dies kein Skalarprodukt in dem Sinn, den Sie vielleicht gewohnt sind. Insbesondere kann es Null sein . Vektoren, für die es null ist, werden normalerweise als lichtähnlich oder null bezeichnet .

Wichtig ist, dass sich Mannigfaltigkeiten nicht immer wie ein kartesischer Raum verhalten.

Für Ihr drittes Problem benötigen wir nun das Konzept des Kotangensraums $T_p^*\mathcal{M}$. Es ist der duale Vektorraum zum Tangentialraum, der von den Differentialen aufgespannt wird$\mathrm{d}x^i : T_p\mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}$für ein gewähltes Koordinatensystem und definiert durch

$$\mathrm{d}x^i(\partial_j) = \delta^i_j$$

Erinnern Sie sich nun daran, dass die Metrik eine Karte vom doppelten Tangentenraum bis war$\mathbb{R}$. Als solches können wir es als Element des Tensorprodukts sehen $T_p^*\mathcal{M} \otimes T_p^*\mathcal{M}$, das ist der Raum, der von einem Element des Formulars überspannt wird$\mathcal{d}x^i \otimes \mathcal{d}x^j$. Da die Metrik ein Element dieses Raums ist, ist sie in ihrer Basis erweiterbar:

$$g = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j$$

wo der Physiker das Lästige einfach fallen lässt$\otimes$Zeichen. Was hat das nun mit unendlich kleiner Entfernung zu tun? Wir definieren einfach die Länge eines Pfades$\gamma : [a,b] \rightarrow \mathcal{M}$Zusammensein mit$\gamma'(t)$bezeichnet den Tangentenvektor an den Pfad)$[1]$

$$L[\gamma] := \int_a^b \sqrt{\lvert g(\gamma'(t),\gamma'(t))\rvert}\mathrm{d}t$$

Und durch die schlampige Notation der Physiker$g(\gamma'(t),\gamma'(t)) = g_{ij} \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}$, wenn wir verstehen$x^i(t)$als die$i$-te Koordinate des Punktes$\gamma(t)$, und so:

$$L[\gamma] = \int_a^b \sqrt{g_{ij} \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}$$

Da rufen wir an$\mathrm{d}s$das infinitesimale Linienelement, das erfüllt$L = \int \mathrm{d}s$, dies deutet auf die Notation hin

$$\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j$$

Wenn wir bemerken, dass sich durch die Definition von Tangens- und Kotangensvektoren durch Differentiale und Ableitungen wie oben Dinge mit höheren Indizes genau umgekehrt transformieren als Dinge mit niedrigeren Indizes (siehe auch meine Antwort hier ), wird deutlich, dass dies der Fall ist tatsächlich invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen.

$[1]$ $\gamma'(t)$ist wirklich ein Tangentenvektor im folgenden Sinne:

Lassen$x : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}^n$ein Koordinatendiagramm sein. Überlege dann:$x \circ \gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$. Da es sich um eine gewöhnliche Funktion zwischen (Teilmengen von) kartesischen Räumen handelt, hat sie eine Ableitung

$$(x \circ \gamma)' : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n$$

Jetzt,$(x \circ \gamma)'^i(t)$als die Komponenten des Tangentenvektors betrachtet werden$\gamma'(t) := (x \circ \gamma)'^i(t)\partial_i \in T_{\gamma(t)}\mathcal{M}$. Es ist eine etwas langwierige, aber lohnende Übung, um zu zeigen, dass diese Definition von$\gamma'(t)$ist unabhängig von der Wahl der Koordinaten$x$.

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Deine Prüfungsfrage mit den Oberflächen fragt nach etwas anderem. Euch wird eine Einbettung einer niederdimensionalen Untermannigfaltigkeit gegeben$\mathcal{N}$in den kartesischen Raum

$$\sigma: \mathcal{N} \hookrightarrow \mathbb{R}^n$$

und gebeten, die induzierte Metrik auf der Untermannigfaltigkeit aus der kartesischen Metrik zu berechnen

$$\mathrm{d}s^2 = \sum_{i = 1}^n \mathrm{d}(x^i)^2$$

(Das ist nur die Identitätsmatrix in Komponentenform bezüglich einer orthonormalen Basis von Koordinaten in$\mathbb{R}^n$, also das Skalarprodukt)

Wie wird nun eine Metrik induziert? Lassen$y : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathcal{N}$seien Koordinaten für die Untermannigfaltigkeit (Sie sind tatsächlich gegeben$\sigma \circ y$in der Frage) und$x$seien die Koordinaten des kartesischen Raums. Beachten Sie, dass jeder Morphismus von Mannigfaltigkeiten$\sigma$induziert einen Morphismus von Tangentialräumen

$$\mathrm{d}\sigma_p : T_p\mathcal{N} \rightarrow T_{\sigma(p)}\mathbb{R}^n, \frac{\partial}{\partial y^i} \mapsto \sum_j \frac{\partial(\sigma \circ y)^j}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^j}$$

das Differential von genannt$\sigma$. Als Morphismus von Vektorräumen ist es eine lineare Abbildung, die als Matrix vom Jacobi gegeben wird$\mathrm{d}\sigma^{ij} := \frac{\partial(\sigma \circ y)^j}{\partial y^i}$des Morphismus der Mannigfaltigkeiten. Nun, das Induzieren einer Metrik bedeutet eine Einstellung

$$g_\mathcal{N}(\frac{\partial}{\partial y^i},\frac{\partial}{\partial y^j}) := g_\mathrm{Euclidean}(\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^i}),\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^j}))$$

Auf der rechten Seite steht nun das Skalarprodukt zweier gewöhnlicher Vektoren$\mathbb{R}^n$, und was Ihre Prüfungen nennen$\vec e_{y^i}$ist mein$\mathrm{d}\sigma(\frac{\partial}{\partial y^i})$. Wenn Sie bemerken, dass Sie gegeben sind$\sigma \circ y$, dann müssen Sie nur noch die metrischen Komponenten durch Rechnen berechnen$g_\mathcal{N}$wie oben für jede mögliche Kombination von$y^i,y^j$(in 2D sind es glücklicherweise nur vier).

Dies ist mein erstes Problem, da der Modulus eines Vektors nicht negativ sein sollte.

Erstens, während es viele nützliche Eigenschaften der einführenden linearen Algebra gibt, die Sie bei GR beachten sollten, muss das Denken in kartesischen Begriffen mit positiv definiten Matrizen einfach weg. Vektoren in der Relativitätstheorie können durchaus eine negative Norm haben.

Auch wenn es in der Literatur nicht oft gemacht wird, könnte es pädagogisch hilfreich sein, die Größe von zu schreiben$\vec{x}$als$\lVert \vec{x} \rVert$statt$\lvert \vec{x} \rvert$, wobei letztere zu stark an die Absolutwertfunktion erinnert.

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Ich bin etwas verwirrt darüber, wie das Symbol$\cdot$wird hier verwendet...

Dies ist ein weiteres Problem mit der Notation. Es war einmal, in einer nicht-physikalischen Umgebung, wurde mir beigebracht, dass es zwei Vektoren gibt$\vec{x}$Und$\vec{y}$das Leben in einem inneren Produktraum könnte sein inneres Produkt berechnen lassen,$(\vec{x}, \vec{y})$. Bei einem ganz speziellen Skalarprodukt, dem Skalarprodukt, könnten wir den Wert berechnen, indem wir die paarweisen Produkte der Komponenten der Vektoren addieren, und wir nennen dieses Ergebnis$\vec{x} \cdot \vec{y}$.

In der Relativitätstheorie verwenden wir dieses kartesische Skalarprodukt jedoch nie. ¹ Daher haben wir uns dafür entschieden, dieses Symbol so zu gestalten, dass es „die Metrik auf die Vektoren anwendet“ bedeutet:$\vec{x} \cdot \vec{y} = g(\vec{x}, \vec{y})$.

Betrachtet man die Komponenten von$\vec{x}$Und$\vec{y}$, die Linearität von$g$bedeutet, dass es als Matrix mit Komponenten ausgedrückt werden kann$g_{\mu\nu}$, Wo$g(\vec{x}, \vec{y})$wird als "Matrixmultiplizieren des Zeilenvektors von Komponenten" verstanden$x^\mu$mit der Matrix mit Komponenten$g_{\mu\nu}$mit dem Spaltenvektor der Komponenten$y^\nu$." Unter Verwendung der impliziten Einstein-Summennotation können wir dies schreiben als$x^\mu g_{\mu\nu} y^\nu$, oder noch besser$g_{\mu\nu} x^\mu y^\nu$.

Weil wir eine Metrik haben, haben wir tatsächlich einen natürlichen dualen Raum zu unserem Vektorraum. Für alle$\vec{x}$, existiert eine eindeutige lineare Abbildung$\tilde{x}$auf dem Vektorraum so dass$\tilde{x}(\vec{y}) = g(\vec{x}, \vec{y})$für alle Vektoren$\vec{y}$. Daher "$\vec{x} \cdot \vec{y}$" kann als das übliche "Summieren der Ergebnisse der komponentenweisen Multiplikation" interpretiert werden, solange verstanden wird, dass wir die Komponenten des dualen Vektors nehmen$\tilde{x}$zusammen mit denen des Normalenvektors$\vec{y}$(und dass die Basis für den dualen Raum das Duale zu der einen Verwendung für den ursprünglichen Vektorraum ist).

Wenn die Metrik kartesisch ist, dann ist die Matrixdarstellung die Identitätsmatrix, und daher reduziert sich die erste Interpretation der Notation auf das standardmäßige dot-think-to-hard Punktprodukt. In der Sprache der dualen Räume induziert eine kartesische Metrik eine triviale Abbildung von Vektoren zu ihren Dualen: Die Komponenten bleiben gleich. So merkt man nicht einmal, ob wir Bauteile entnommen haben$\vec{x}$oder$\tilde{x}$.

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Mein drittes Problem ist, dass ich nicht sicher bin, wo die Gleichung ist$ds^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta$kommt von.

Hinter dieser Aussage steckt viel tiefe Differentialgeometrie, und ich werde nur einen kurzen Einblick darauf geben. Für jeden Index$\mu$,$x^\mu$ist ein Skalarfeld auf eurer Raumzeit-Mannigfaltigkeit. Der äußere Ableitungsoperator$\mathrm{d}$wandelt unter anderem Skalare in duale Vektoren um und ist in diesem speziellen Fall eigentlich nur der bekannte Gradientenoperator.

Betrachten Sie einen Punkt in der Raumzeit. An diesem Punkt induzieren Ihre Koordinaten Richtungsableitungen$\partial/\partial x^\mu = \partial_\mu$, und diese können an dieser Stelle als Grundlage für Vektoren genommen werden. Der duale Raum hat tatsächlich als seine entsprechende Basis die Gradienten$\mathrm{d}x^\mu$. ²

Durch die Definition der dualen Basis wissen wir das$\mathrm{d}x^\mu(\partial_\nu) = \delta^\mu_\nu$. Betrachten Sie einen Vektor$\vec{V} = V^\alpha \partial_\alpha$. Wir wissen$\mathrm{d}x^\mu(\vec{V}) = V^\alpha \mathrm{d}x^\mu(\partial_\alpha) = V^\alpha \delta^\mu_\alpha = V^\mu$. (Die erste Gleichheit ergibt sich aus der Linearität von$\mathrm{d}x^\mu$; siehe auch Fußnote ² .) Also in jeder festen Basis,

$$g(\vec{V}, \vec{W}) = g_{\alpha\beta} V^\alpha W^\beta = g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha(\vec{V}) \mathrm{d}x^\beta(\vec{W}) = g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha \otimes \mathrm{d}x^\beta (\vec{V}, \vec{W}).$$

Das einzige, unteilbare Symbol "$ds^2$" ist nur eine Abkürzung für den Tensor$g_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha \otimes \mathrm{d}x^\beta$(oft ohne explizites Produktsymbol geschrieben). Das ist also, auf sehr umständliche Weise, seine Definition. Und es ist so koordinateninvariant wie das Skalarprodukt$g$.

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¹ Beachten Sie, dass einige Texte versuchen , es zu verwenden, indem sie Faktoren von einwerfen$i$an verschiedenen Stellen, um bei zwei die gewünschten negativen Vorzeichen zu bekommen$i$ist multiplizieren. Dies ist eine schlechte Praxis und schlägt kläglich fehl, wenn Sie von SR zu GR wechseln.

² Mögliche Verwechslungsgefahr:$\mu$In diesem Absatz werden nur verschiedene Koordinaten indiziert, nicht Komponenten von Vektoren oder dualen Vektoren. Außerdem wurden Pfeile und Tilden unterdrückt. Daher$\partial_\mu$ist ein vollständiger Vektor für alle$\mu$, mit Komponenten$\partial_\mu^\alpha$indexiert von$\alpha$. Ähnlich,$\mathrm{d}x^\mu$ein dualer Vektor ist, und seine Komponenten in einer gewissen verständlichen Basis wären$\mathrm{d}x^\mu_\alpha$.