Lorentztransformation in GR

Question

Lorentztransformation in GR

xpsf

Ich versuche, grundlegende Berechnungen von SR mit dem schwereren Formalismus von GR durchzuführen, um zu sehen, ob ich es gut verstehe.

Koordinatenwechsel ist Raumzeit : Koordinatenwechsel in der Raumzeit sind Koordinatenwechsel in den Karten $(\mathbb{R}^4,\eta)$ Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Für die kartesischen Koordinaten haben wir eine globale Karte und das ist die Identität. Wenn wir zu anderen Koordinaten gehen wollen, nehmen wir einen anderen Atlas $(\mathbb{R}^4,\eta)$ Dann führen wir die Koordinatenänderungen aus, wie sie in Differentialgeometriekursen zu sehen sind.

Koordinatenänderung in Tangentialräumen : Tangentialräume haben eine natürliche Basis, die durch die Koordinate auf der Mannigfaltigkeit gegeben ist. Um Koordinaten in Tangentialräumen zu ändern, ist es dasselbe wie für allgemeine Vektorräume: Wir führen eine lineare Kombination der Basisvektoren durch und leiten dann ab, wie sich die Komponenten ändern usw.

Problem : Wenn wir über Lorentz-Boosts sprechen, ist dies der Fall $x$ Richtung in RR schreiben wir normalerweise

[\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} T \\ X \\ j \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} T^{'} \\ X^{'} \\ j^{'} \\ z^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \gamma&-\beta\gamma&0&0\\ -\beta\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\\x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{bmatrix} \end{equation}$ mit üblichen Bezeichnungen. Wir sagen normalerweise, dass wir "Koordinate ändern" aus

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ Zu

(t^{'}, x^{'}, y^{'}, z^{'})

$(t',x',y',z')$ .

Da es sich um eine lineare Transformation zwischen vier Vektoren handelt, ist es eine Änderung der Koordinaten in einem Tangentialraum?
Sind das nicht $(x,y,z,t)$ Angenommen, die Koordinaten in der Raumzeit zu sein? Ich habe immer gesehen $x^\mu$ als die $\mu$ -te Komponente einer Koordinatenkarte $x:U\subset\mathcal{M}\to\mathbb{R}^4$ , $\mathcal{M}$ ein Verteiler.
Allgemeiner gesagt, was ist wirklich die Rolle der Lorentz-Transformation in der Kurvenraumzeit? Was bedeutet "Referenzrahmen" wirklich in diesem Kontext?

Ich würde gerne darüber lesen, aber ich habe nichts in den klassischen GR-Referenzen gesehen.

Anonjohn

Lorentz-Transformationen sind als ein spezieller Satz von Diagrammübergangskarten zu interpretieren: diejenigen, die linear sind. Sie fragen sich vielleicht, warum sich Vektoren (wie Geschwindigkeit, Beschleunigung usw.) auch in SR auf diese Weise transformieren? Gegeben sei eine Diagrammübergangskarte

x^{'} (x)

$x'(x)$ , transformieren sich Vektoren (die im Tangentialraum leben) unter der Aktion

\frac{\partial x^{'}}{\partial x}

$\frac{\partial x'}{\partial x}$ . Bei linearen Transformationen ist diese Matrix zufällig identisch mit der Matrix, die den Diagrammwechsel implementiert.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/544193/2451

Gold

In Bezug auf Ihre letzte Frage scheint die genaueste Definition eines Referenzrahmens die von Sachs & Wu im Buch General Relativity for Mathematicians zu sein. Ein Referenzrahmen ist ein zeitartiges zukunftsgerichtetes Einheitsvektorfeld. Es gibt Ihnen eine Aufteilung zwischen Raum und Zeit an jedem Tangentialraum der offenen Menge, in der es definiert ist. Eine alternative Definition besteht darin, einen Referenzrahmen als einen Abschnitt des orthonormalen Rahmenbündels zu definieren, dh eine Auswahl einer orthonormalen Basis von Vektorfeldern.

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Lorentztransformation in GR

Lorentz-Transformationen sind als ein spezieller Satz von Diagrammübergangskarten zu interpretieren: diejenigen, die linear sind. Sie fragen sich vielleicht, warum sich Vektoren (wie Geschwindigkeit, Beschleunigung usw.) auch in SR auf diese Weise transformieren? Gegeben sei eine Diagrammübergangskarte $x'(x)$ , transformieren sich Vektoren (die im Tangentialraum leben) unter der Aktion $\frac{\partial x'}{\partial x}$ . Bei linearen Transformationen ist diese Matrix zufällig identisch mit der Matrix, die den Diagrammwechsel implementiert.
In Bezug auf Ihre letzte Frage scheint die genaueste Definition eines Referenzrahmens die von Sachs & Wu im Buch General Relativity for Mathematicians zu sein. Ein Referenzrahmen ist ein zeitartiges zukunftsgerichtetes Einheitsvektorfeld. Es gibt Ihnen eine Aufteilung zwischen Raum und Zeit an jedem Tangentialraum der offenen Menge, in der es definiert ist. Eine alternative Definition besteht darin, einen Referenzrahmen als einen Abschnitt des orthonormalen Rahmenbündels zu definieren, dh eine Auswahl einer orthonormalen Basis von Vektorfeldern.

Andreas Steane · Answer 1

Ich denke, Ihre Frage wird durch die folgende Beobachtung gelöst. In einem gekrümmten Raum $(t,x,y,z)$ machen im Allgemeinen keinen 4-Vektor, aber $(dt,dx,dy,dz)$ machen Sie einen 4-Vektor.

In GR können Sie eine Lorentz-Transformation verwenden, um zwischen lokalen Trägheitsrahmen in der Nähe eines bestimmten Ereignisses umzuschalten. Sie wenden eine solche Transformation nur lokal an.

Karl Franz · Answer 2

Die Lorentz-Transformation ist eine Änderung der Basis des Tangentialraums. Der Tangentenraum ist so definiert, dass er einen Vektorraum bezeichnet, der einem Punkt in der Raumzeit zugeordnet ist. Man sollte dies nicht mit Koordinaten verwechseln. Koordinaten definieren keine Vektoren in allgemein gekrümmten Raumzeiten. Daher können wir die Lorentz-Transformation auf Vektoren wie Impuls anwenden, aber nicht auf Koordinaten.

Ein Bezugssystem besteht aus der Bezugsmaterie, dem Apparat und den Verfahren, die zur Bestimmung eines Raumzeit-Koordinatensystems erforderlich sind.

Ein Koordinatensystem ist eine Zuordnung von physikalischen Ereignissen zu Koordinaten mit der Form $(x^0, x^1, x^2, x^3)$

Normalerweise $(x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, x, y, z)$ Wo $t$ ist die Zeit des Ereignisses und $(x, y, z)$ beschreibt die Position des Ereignisses, oder wir verwenden Polarkoordinaten $(r,\theta, \phi)$ , und wir können auch allgemeinere Koordinaten verwenden.

Beachten Sie, dass, da die Minkowski-Metrik flach ist, der Tangentenraum und der ursprüngliche Raum die gleiche Struktur haben und jede Änderung der Basis im Tangentenraum eine entsprechende globale Koordinatentransformation hat. Jeder Lorentz-Boost oder jede 3-Rotation im Tangentenraum hat also eine äquivalente Koordinatentransformation, die einfach äquivalent ist, um den Boost / die Rotation auf jeden Punkt in der Raumzeit anzuwenden.
@JerrySchirmer, in der ursprünglichen Frage gibt es vielleicht Unklarheiten. Wenn wir von gr sprechen, sollten wir nicht davon ausgehen, dass die ursprüngliche Raumzeit flach ist. Wenn wir davon ausgehen, dass die Raumzeit flach ist, gibt es tatsächlich keinen Unterschied zwischen sr und gr, und es gibt nicht einmal eine Frage. Ich glaube nicht, dass das OP das beabsichtigt hat, und es wird in meiner Antwort sicherlich nicht angenommen.
Oh, ich füge nur Geschmack hinzu und erkläre, warum dies für Menschen verwirrend sein kann, denn für flache Raumzeiten haben der Raum und der tangentiale Raum dieselbe Struktur.
Was ist mit dem Kommentar von @Anonjohn? Ist die Lorentz-Transformation auch eine bestimmte Kombination von Diagrammen, um die Koordinaten zu ändern (in der Raumzeit, nicht im Tangentialraum)?
@xpsf, Lorentz-Transformation gilt nur für Trägheitsrahmen in flacher Raumzeit. In der Allgemeinen Relativitätstheorie bezieht es sich auf Transformationen in einem tangentialen Raum.

Lorentztransformation in GR

xpsf

Anonjohn

QMechaniker

Gold

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Andreas Steane

Karl Franz

Jerry Schirmer

Karl Franz

Jerry Schirmer

xpsf

Karl Franz

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