Die Wellengleichung in der allgemeinen Relativitätstheorie, der speziellen Relativitätstheorie und den kartesischen Koordinaten

Question

Die Wellengleichung in der allgemeinen Relativitätstheorie, der speziellen Relativitätstheorie und den kartesischen Koordinaten

Benutzer76284

Die relativistische Wellengleichung ist

◻ φ = ρ

$\square\varphi=\rho$ Wo

φ

$\varphi$ ist das Feld,

ρ

$\rho$ ist die Quelle, und

◻

$\square$ ist der D'Alembert-Operator, definiert durch

◻ = \nabla_{μ} \nabla^{μ} = G^{μ v} \nabla_{μ} \nabla_{v}

$\square=\nabla_\mu\nabla^\mu=g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu$ Wo

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ ist der inverse metrische Tensor und

\nabla

$\nabla$ ist der kovariante Ableitungsoperator. In der Minkowski-Raumzeit kann dies auf reduziert werden

◻ = \partial_{μ} \partial^{μ} = η^{μ v} \partial_{μ} \partial_{v}

$\square=\partial_\mu\partial^\mu=\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu$ Wo

\partial

$\partial$ ist der partielle Ableitungsoperator. Verwendung von kartesischen Koordinaten

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ , dies kann weiter reduziert werden auf

◻ = \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial T^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial j^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

$\square=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ Ist diese Charakterisierung der Wellengleichung richtig? Insbesondere, was ist die richtige Unterscheidung zwischen der Verwendung

\partial

$\partial$ und verwenden

\nabla

$\nabla$ , und die korrekte Unterscheidung zwischen gekrümmter Raumzeit und krummlinigen Koordinaten , wenn man diese Ausdrücke manipuliert?

JamalS

Nur eine kleine Einschränkung zu den vorhandenen Antworten: Beachten Sie, dass einige Autoren möglicherweise schreiben

◻

$\square$ in der Allgemeinen Relativitätstheorie, wenn sie wirklich den Lichnerowicz-Operator meinen, der von der Krümmung abhängt, nicht nur von den Verbindungskoeffizienten. Normalerweise sollten Sie in der Lage sein, den Unterschied anhand des Kontexts zu erkennen.

Antworten (2)

Die Wellengleichung in der allgemeinen Relativitätstheorie, der speziellen Relativitätstheorie und den kartesischen Koordinaten

Nur eine kleine Einschränkung zu den vorhandenen Antworten: Beachten Sie, dass einige Autoren möglicherweise schreiben $\square$ in der Allgemeinen Relativitätstheorie, wenn sie wirklich den Lichnerowicz-Operator meinen, der von der Krümmung abhängt, nicht nur von den Verbindungskoeffizienten. Normalerweise sollten Sie in der Lage sein, den Unterschied anhand des Kontexts zu erkennen.

Benutzer10851 · Answer 1

Hier gibt es keinen Unterschied zwischen der Verwendung gekrümmter Raumzeit und gekrümmter Koordinaten. Während man die "wahre" Krümmung in der Raumzeit sagen könnte, indem man beispielsweise Skalare wie berechnet $R^{\alpha\beta\gamma\delta} R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ oder $R^\mu{}_\mu$ und wenn sie verschwinden, ist es Ihrem Differentialoperator egal. Anders gesagt, alles, was Sie interessiert, ist, ob die Verbindungskoeffizienten oder nicht $\Gamma^\sigma_{\mu\nu}$ verschwinden, nicht ob eine spezielle koordinatenunabhängige Größe dies tut.

Aus diesem Grund beinhaltet die Minkowski-Raumzeit oft, aber nicht immer implizit kartesische Koordinaten, ansonsten könnte man sie wahrscheinlich einfach als "flach" bezeichnen. Wenn Ihre Raumzeit flach ist, aber Ihre Koordinaten nicht kartesisch sind, gibt es Terme, die Sie in Ihrer dritten Gleichung weggelassen haben. In jeder Raumzeit und für jeden Skalar ¹ $\varphi$ ,

\begin{aligned} ◻ φ & = G^{μ v} \nabla_{μ} \nabla_{v} φ \\ = G^{μ v} \nabla_{μ} (\partial_{v} φ) \\ = G^{μ v} (\partial_{μ} \partial_{v} φ - Γ_{μ v}^{σ} \partial_{σ} φ) \\ (1) & = (\partial_{μ} \partial^{μ} - G^{μ v} Γ_{μ v}^{σ} \partial_{σ}) φ . \end{aligned}

$\begin{align} \square\varphi & = g^{\mu\nu} \nabla_\mu \nabla_\nu \varphi \\ & = g^{\mu\nu} \nabla_\mu (\partial_\nu \varphi) \\ & = g^{\mu\nu} (\partial_\mu \partial_\nu \varphi - \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \partial_\sigma \varphi) \\ & = (\partial_\mu \partial^\mu - g^{\mu\nu} \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \partial_\sigma) \varphi. \tag{1} \end{align}$

Also wenn in Koordinaten $(t,x,y,z)$ wir haben $g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ , dann sicher, $\Gamma^\sigma_{\mu\nu} = 0$ Und $\square\varphi = \partial_\mu \partial^\mu \varphi$ . Dieselbe flache Raumzeit in sphärischen Koordinaten $(t,r,\theta,\phi)$ -- $g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,1,r^2,r^2\sin^2\theta)$ -- wird jedoch einige Verbindungskoeffizienten ungleich Null haben. Tatsächlich sollten Sie den zweiten Term in (1) als notwendig anerkennen, da es im sphärischen Laplace-Operator einzelne Ableitungen gibt:

\nabla^{2} φ = (\partial_{R}^{2} + \frac{2}{R} \partial_{R} + \frac{1}{R^{2}} \partial_{θ}^{2} + \frac{1}{R^{2} bräunen θ} \partial_{θ} + \frac{1}{R^{2} {Sünde}^{2} θ} \partial_{ϕ}^{2}) φ .

$\nabla^2\varphi = \left(\partial_r^2 + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_\theta^2 + \frac{1}{r^2\tan\theta} \partial_\theta + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \partial_\phi^2\right) \varphi.$

Es ist zu beachten, dass kovariante Ableitungen im Allgemeinen nur unter den folgenden beiden Umständen auf partielle Ableitungen reduziert werden:

$\nabla_\mu \varphi = \partial_\mu \varphi$ in jeder Raumzeit in beliebigen Koordinaten für einen Skalar $\varphi$ .
$\nabla_\mu T^\alpha{}_\beta = \partial_\mu T^\alpha{}_\beta$ in flacher Raumzeit in kartesischen Koordinaten, wo $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$ , für jeden Tensor $T$ (mit beliebig vielen Indizes).

Abgesehen von diesen beiden Zeiten müssen Sie auf die allgemeine Regel zurückgreifen

\nabla_{μ} T^{a}_{β} = \partial_{μ} T^{a}_{β} + Γ_{μ σ}^{a} T^{σ}_{β} - Γ_{μ β}^{ρ} T^{a}_{ρ},

$\nabla_\mu T^\alpha{}_\beta = \partial_\mu T^\alpha{}_\beta + \Gamma^\alpha_{\mu\sigma} T^\sigma{}_\beta - \Gamma^\rho_{\mu\beta} T^\alpha{}_\rho,$ wobei zusätzliche Indizes dem gleichen Muster folgen wie

α

$\alpha$ oder

β

$\beta$ je nachdem, ob sie oben oder unten sind.

¹ Beachten Sie, dass wenn $\varphi$ ist ein höherrangiger Tensor, die Vereinfachung $\nabla\varphi \to \partial\varphi$ hält nicht mehr. Im Zusammenhang mit Wellengleichungen ist der gewünschte Differentialoperator häufig nicht der d'Alambertian, sondern der de Rham-Operator , der eine Kopplung zwischen dem Ricci-Tensor und Ihrem zu differenzierenden Tensor hinzufügt (eine "Krümmungskopplung"). Dies reduziert sich auf Skalare auf den d'Alambertian.

Jerry Schirmer · Answer 2

Sie können in Minkowski nur für den Sonderfall kartesischer Koordinaten zu Partials aufsteigen. Soweit es diese einfachen Gleichungen betrifft, gibt es keinen direkten Unterschied zwischen krummlinigen Koordinaten und gekrümmter Raumzeit. Wichtig ist nur, dass die $\Gamma_{ab}{}^{c}$ sind ungleich Null.

Beachten Sie jedoch, dass es andere Verallgemeinerungen des D'Alembertschen Operators für gekrümmte Raumzeit gibt, die den Ricci-Skalar beinhalten. Diese unterscheiden explizit zwischen gekrümmter Raumzeit und gekrümmten Koordinaten.

Der partielle Differentialoperator kann also nur im Minkowski-Raum unter kartesischen Koordinaten richtig anstelle des kovarianten Differentialoperators verwendet werden, richtig? Was sind außerdem einige Beispiele für diese Verallgemeinerungen des D'Alembertschen Operators?

Die Wellengleichung in der allgemeinen Relativitätstheorie, der speziellen Relativitätstheorie und den kartesischen Koordinaten

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JamalS

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Jerry Schirmer

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Danu

Ist (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2\ rechts)\phi=0 wie ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left( g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \partial_\nu\phi\right)=0?

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