Invarianz des inneren Produkts zwischen 4-Geschwindigkeiten unter allgemeiner Koordinatentransformation

Arbeiten in der (+ - - -) Konvention. Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass die Metrik diagonal ist (dieser Beweis gilt immer noch, wenn dies nicht der Fall ist, er ist nur länger):

$$\begin{equation} d \tau^2 = g_{00} dt^2 + g_{xx} dx^2 + g_{yy} dy^2 + g_{zz} dz^2 \\ 1 = g_{00} \left(\frac{dt}{d\tau} \right)^2 + g_{xx} \left( \frac{dx}{d\tau}\right)^2 + g_{yy} \left(\frac{dy}{d\tau}\right)^2 + g_{zz} \left( \frac{dz}{d\tau} \right)^2 \\ 1 = g_{00} \left(\frac{dx^0}{d\tau} \right)^2 + g_{xx} \left( \frac{dx^1} {d\tau}\right)^2 + g_{yy} \left(\frac{dx^1}{d\tau}\right)^2 +g_{zz} \left( \frac{dx^2}{d\tau} \right)^2 \\ 1 = g_{00} \left(u^0 \right)^2 + g_{xx} \left( u^1\right)^2 + g_{yy} \left(u^2\right)^2 +g_{zz} \left( u^3 \right)^2\\ 1 = g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} \implies u^{\mu} u_{\mu} = 1. \end{equation}$$

Ich denke, Ihr Fehler liegt in Zeile 2, aber ich verstehe nicht ganz, was Sie dort tun, also bin ich mir nicht sicher, ob ich helfen kann.

Die von Ihnen verwendete Definition der Eigenzeit ist falsch. Um die richtige Zeit zu finden, können Sie sie nicht einfach durch die "normale" Zeit ersetzen. In der speziellen Relativitätstheorie bemerken Sie dieses Problem nicht als$g_{00}$hat eine einheitliche Norm, aber in der Allgemeinen Relativitätstheorie müssen Sie sich daran erinnern

$d\tau^2=ds'^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu \Rightarrow u^{a} u_{a} =\frac{d x^{a} d x_{a}}{(d \tau)^{2}} =\frac{d x^{a} d x_{a}}{d s^{2}} =1$

was unveränderlich ist. Siehe das Beispiel in dieser Diskussion oder die Definition auf Wikipedia .