Was bedeuten die Indizes in 4-Vektor-Notation?

Question

Was bedeuten die Indizes in 4-Vektor-Notation?

Bruce Wayne

Was bedeuten die Indizes in 4-Vektor-Notation? Sind es Vektorkomponenten oder der Vektor selbst? Ich bin nach diesem Wikipedia-Artikel etwas verwirrt . Da die Indizes summiert werden, wie kann die linke Seite irgendeinen Index haben? Könnten Sie bitte erklären?

Notation

Die Notationen in diesem Artikel sind: Kleinbuchstaben fett für dreidimensionale Vektoren, Hüte für dreidimensionale Einheitsvektoren, Großbuchstaben fett für vierdimensionale Vektoren (mit Ausnahme des Viergradienten) und Tensorindexnotation.

Vier-Vektor-Algebra

Vierervektoren auf reellwertiger Basis

Ein Vierervektor A ist ein Vektor mit einer "zeitartigen" Komponente und drei "raumartigen" Komponenten und kann in verschiedenen äquivalenten Notationen geschrieben werden:

$\begin{aligned} A & = (A^{0}, A^{1}, A^{2}, A^{3}) \\ = A^{0} E_{0} + A^{1} E_{1} + A^{2} E_{2} + A^{3} E_{3} \\ = A^{0} E_{0} + A^{ich} E_{ich} \\ = A^{a} E_{a} \\ = A^{μ} \end{aligned}$ ${\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3})\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\\&=A^{\mu }\end{aligned}}$

( Quelle )

Charlie

Beachten Sie, dass es in der Physik sehr üblich ist, wenig bis gar keinen Unterschied zwischen einem Tensor und seinen Komponenten zu machen. Es ist üblich, sich darauf zu beziehen

A^{μ}

$A^\mu$ als "Vektor" bzw

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ (in GR) als "die Metrik", wenn wir eigentlich "die Komponenten des Vektors" meinen

A

$A$ " und "die Komponenten des Tensors

g

$g$ ".

Bruce Wayne

Ich bin ein paar Mal auf das gestoßen, worüber Sie sprechen. Manchmal sagen sie Vektoren, manchmal Vektorkomponenten, und das verwirrt mich wirklich. Vielen Dank für Ihre Antwort. Aber ich habe eine andere Frage. Wenn ich einen Vierervektor mit etwas mit demselben Index multipliziere, bekomme ich dann immer einen Skalar?

Charlie

A^{μ} X_{μ}

$A^\mu X_\mu$ wäre ein Skalar, bei dem wir die Summationskonvention verwenden und streng einen Index nach oben und einen Index nach unten haben (dh

A^{μ} X^{μ}

$A^\mu X^\mu$ ist kein Skalar, es wäre sogar völlig unzulässig, es zu schreiben). Diese Regeln werden in jedem Text erklärt, der eine Einführung in die Notation von Tensor-Indizes enthält (normalerweise zuerst in der speziellen Relativitätstheorie oder im Elektromagnetismus anzutreffen).

Bruce Wayne

Aber wenn ich einen oberen Index A und einen unteren Index-Basisvektor multipliziere, ergibt das nicht den Vektor A, der kein Skalar ist? Übersehe ich etwas?

Charlie

Basisvektoren sind etwas Besonderes, eine Basis ist eine Sammlung von indizierten Vektoren .

{\vec{e}}_{i}

$\vec{e}_i$ bedeutet nicht "die Komponenten des Vektors

e

$e$ , es bedeutet "die

i

$i$ Basisvektor". Unter erneuter Verwendung der Summationskonvention

X^{μ} {\vec{e}}_{μ}

$X^\mu \vec{e}_\mu$ ist ein in einer Basis erweiterter Vektor. Die Tatsache, dass wir Indizes und die Summationskonvention sowohl für Komponenten als auch für Basisvektoren verwenden, ist zunächst etwas verwirrend.

Bruce Wayne

Vielen Dank für Ihre Antworten. Wenn also ein Index zweimal erscheint (ein oberer und ein unterer), können wir sagen, dass wir allgemeiner eine unveränderliche Größe erhalten würden?

Charlie

Nicht unbedingt, invariante Größen sind Skalare. Aber so etwas wie

T^{μ ν} X_{μ} = V^{ν}

$T^{\mu\nu}X_{\mu}=V^\nu$ ist kein Skalar, das Ergebnis ist ein Vektor (dies wird normalerweise als "Tensor/Index-Kontraktion" bezeichnet). Beachten Sie noch einmal, dass ich anrufe

V^{ν}

$V^\nu$ ein Vektor, wenn ich es technisch nicht sollte. Etwas wie

X^{μ} V_{μ}

$X^\mu V_\mu$ ist jedoch ein Skalar, und das ist eine wirklich unveränderliche Größe. Seien Sie jedoch vorsichtig, denn (wie üblich) missbrauchen wir in der Physik oft die Terminologie und nennen jede tensorielle Größe "invariant" (im Gegensatz zu kovariant , dem korrekteren Wort).

Antworten (3)

Was bedeuten die Indizes in 4-Vektor-Notation?

Beachten Sie, dass es in der Physik sehr üblich ist, wenig bis gar keinen Unterschied zwischen einem Tensor und seinen Komponenten zu machen. Es ist üblich, sich darauf zu beziehen $A^\mu$ als "Vektor" bzw $g_{\mu\nu}$ (in GR) als "die Metrik", wenn wir eigentlich "die Komponenten des Vektors" meinen $A$ " und "die Komponenten des Tensors $g$ ".
Ich bin ein paar Mal auf das gestoßen, worüber Sie sprechen. Manchmal sagen sie Vektoren, manchmal Vektorkomponenten, und das verwirrt mich wirklich. Vielen Dank für Ihre Antwort. Aber ich habe eine andere Frage. Wenn ich einen Vierervektor mit etwas mit demselben Index multipliziere, bekomme ich dann immer einen Skalar?
$A^\mu X_\mu$ wäre ein Skalar, bei dem wir die Summationskonvention verwenden und streng einen Index nach oben und einen Index nach unten haben (dh $A^\mu X^\mu$ ist kein Skalar, es wäre sogar völlig unzulässig, es zu schreiben). Diese Regeln werden in jedem Text erklärt, der eine Einführung in die Notation von Tensor-Indizes enthält (normalerweise zuerst in der speziellen Relativitätstheorie oder im Elektromagnetismus anzutreffen).
Aber wenn ich einen oberen Index A und einen unteren Index-Basisvektor multipliziere, ergibt das nicht den Vektor A, der kein Skalar ist? Übersehe ich etwas?
Basisvektoren sind etwas Besonderes, eine Basis ist eine Sammlung von indizierten Vektoren . $\vec{e}_i$ bedeutet nicht "die Komponenten des Vektors $e$ , es bedeutet "die $i$ Basisvektor". Unter erneuter Verwendung der Summationskonvention $X^\mu \vec{e}_\mu$ ist ein in einer Basis erweiterter Vektor. Die Tatsache, dass wir Indizes und die Summationskonvention sowohl für Komponenten als auch für Basisvektoren verwenden, ist zunächst etwas verwirrend.
Vielen Dank für Ihre Antworten. Wenn also ein Index zweimal erscheint (ein oberer und ein unterer), können wir sagen, dass wir allgemeiner eine unveränderliche Größe erhalten würden?
Nicht unbedingt, invariante Größen sind Skalare. Aber so etwas wie $T^{\mu\nu}X_{\mu}=V^\nu$ ist kein Skalar, das Ergebnis ist ein Vektor (dies wird normalerweise als "Tensor/Index-Kontraktion" bezeichnet). Beachten Sie noch einmal, dass ich anrufe $V^\nu$ ein Vektor, wenn ich es technisch nicht sollte. Etwas wie $X^\mu V_\mu$ ist jedoch ein Skalar, und das ist eine wirklich unveränderliche Größe. Seien Sie jedoch vorsichtig, denn (wie üblich) missbrauchen wir in der Physik oft die Terminologie und nennen jede tensorielle Größe "invariant" (im Gegensatz zu kovariant , dem korrekteren Wort).

Andreas Steane · Answer 1

Die Verwirrung rührt von der Tatsache her, dass man allgemein sogenannte passive Transformationen im Gegensatz zu aktiven Transformationen betrachten möchte. Die Idee kann in drei Dimensionen gesehen und dann von dort verallgemeinert werden.

Man sollte nicht schreiben ${\bf u} = u^a$ , es ist ein Notationsmissbrauch. Man kann aber auch ein Symbol ohne Indizes verwenden, wie z $\bf u$ oder $U$ , in mehr als einer Hinsicht, wie ich erklären werde.

Vermuten $\bf u$ ist ein Vektor in drei Dimensionen. Dann können wir schreiben

u = u^{1} {\hat{e}}_{1} + u^{2} {\hat{e}}_{2} + u^{3} {\hat{e}}_{3}

${\bf u} = u^1 \hat{\bf e}_1 + u^2 \hat{\bf e}_2 +u^3 \hat{\bf e}_3$ Wo

u^{i}

$u^i$ sind die Komponenten des Vektors und

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ sind ein Satz von Basisvektoren. Nehmen wir an, diese Basisvektoren sind entlang der Koordinatenachsen eines rechteckigen Koordinatensystems ausgerichtet.

Betrachten Sie nun den Effekt einer Drehung $R$ . Wir können den Vektor drehen ${\bf u}$ um einen anderen Vektor zu erhalten ${\bf v} = R {\bf u}$ . Dies wird als aktive Transformation bezeichnet. Der Vektor ändert sich in einen anderen Vektor.

Wir können aber auch eine Drehung der Koordinatenachsen berücksichtigen, ohne unseren Vektor zu drehen $\bf u$ . Dies wird als passive Transformation bezeichnet, weil $\bf u$ ändert sich nicht. Wenn wir die Koordinatenachsen drehen, werden wir feststellen, dass die Vektoren entlang der neuen Koordinatenachsenrichtungen nicht dieselben sind wie die entlang der alten Koordinatenachsenrichtungen, also verwenden wir einen Strich, um diesen Unterschied anzuzeigen:

{\hat{e}}_{ich}^{'} = R {\hat{e}}_{ich} .

$\hat{\bf e}'_i = R \hat{\bf e}_i.$ Daraus folgt das

{\hat{e}}_{ich} = R^{- 1} {\hat{e}}_{ich}^{'} .

$\hat{\bf e}_i = R^{-1} \hat{\bf e}'_i.$ Es kann nützlich sein, diese Tatsache zu bemerken, aber für die vorliegenden Zwecke ist es nützlicher, lediglich zu bemerken, dass die alten Basisvektoren

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ können selbst in Bezug auf die neuen Basisvektoren als lineare Summe geschrieben werden. Also jeder

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ gleich einer Summe von ist

{\hat{e}}_{i}^{'}

$\hat{\bf e}'_i$ und wir werden finden

u = u^{' 1} {\hat{e}}_{1}^{'} + u^{' 2} {\hat{e}}_{2}^{'} + u^{' 3} {\hat{e}}_{3}^{'}

${\bf u} = u'^1 \hat{\bf e}'_1 + u'^2 \hat{\bf e}'_2 +u'^3 \hat{\bf e}'_3$ Wo

u^{' i}

$u'^i$ sind ein neuer Satz von Koeffizienten, die als Komponenten bezeichnet werden. Der Punkt ist, dass der Vektor

u

$\bf u$ Geändert hat sich aber nicht die Komponenten

u^{' i}

$u'^i$ unterscheiden sich von den Komponenten

u^{i}

$u^i$ weil die Basisvektoren

{\hat{e}}_{i}^{'}

$\hat{\bf e}'_i$ von den Basisvektoren verschieden sind

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ .

Ein Beispiel für diese Tatsache, jetzt in 4 Dimensionen, ist die weit verbreitete Relation

u^{' A} = Λ_{μ}^{A} u^{μ}

$u'^a = \Lambda^a_{\;\mu} u^\mu$ Wo

Λ_{b}^{a}

$\Lambda^a_{\; b}$ ist die Lorentz-Transformation und ich übernehme jetzt die Einstein-Summierungskonvention. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird dies verallgemeinert

u^{' A} = \frac{\partial X^{' A}}{\partial X^{μ}} u^{μ} .

$u'^a = \frac{\partial x'^a}{\partial x^\mu} u^\mu.$

Bisher haben wir strikt zwischen einem Vektor unterschieden $\bf u$ und seine Bestandteile $u^a$ oder $u'^a$ . Aber oft ist es nützlich, eine weniger überladene Notation zu finden, bei der Indizes (ob hochgestellt oder tiefgestellt) nicht benötigt werden. Lassen Sie uns zu diesem Zweck definieren

U = {u^{A}} .

$U = \{ u^a \}.$ Diese Gleichung behauptet, dass das Symbol

U

$U$ bezieht sich auf den Satz von Komponenten des 4-Vektors

u

$\bf u$ in Bezug auf die ungestrichene Koordinatenbasis. Beachten Sie, dass ich jetzt verwende

U

$U$ für den Satz von Komponenten und

u

$\bf u$ für den 4-Vektor. Als nächstes definieren wir

U^{'} = {u^{' A}} .

$U' = \{ u'^a \}.$ Dies behauptet, dass das Symbol

U^{'}

$U'$ bezieht sich auf den Satz von Komponenten des 4-Vektors

u

$\bf u$ bezüglich der gestrichenen Koordinatenbasis. Wenn wir nun eine spezielle Relativitätstheorie durchführen, bei der die Transformation eine Lorentz-Transformation ist, dann können wir bequem die Beziehung zwischen schreiben

U

$U$ Und

U^{'}

$U'$ als:

U^{'} = Λ U

$U' = \Lambda U$ wo es sich versteht, dass die Komponenten von

Λ

$\Lambda$ sind in a zusammengefasst

4 \times 4

$4 \times 4$ Matrix und die Listen der Komponenten

U

$U$ Und

U^{'}

$U'$ sind als die Komponenten von Spaltenvektoren auszudrücken, und

Λ U

$\Lambda U$ ist die gewöhnliche Matrixmultiplikationsoperation. Dies ist eine ziemlich bequeme Notation, die weit verbreitet ist, aber sie führt zu Verwirrung zwischen dem Satz von Komponenten und dem 4-Vektor selbst. Bei einer passiven Transformation, beispielsweise einem Wechsel des Trägheitsbezugssystems, ändert sich nicht der 4er-Vektor selbst, sondern die Menge der Komponenten ändert sich ab

U

$U$ Zu

U^{'}

$U'$ . So streng sollte man nicht anrufen

U

$U$ hier 'der 4-Vektor', sondern 'die Menge der Komponenten des 4-Vektors in Bezug auf das nicht gestrichene Inertialsystem', und

U^{'}

$U'$ ist die Menge der Komponenten des 4-Vektors in Bezug auf das gestrichene Inertialsystem.

Wenn Ihnen diese indexfreie Notation nicht gefällt, brauchen Sie sie nicht zu verwenden. Für die spezielle Relativitätstheorie denke ich, dass es eine ziemlich schöne Notation ist, aber ich würde sie nicht in GR verwenden, wo ich es klarer finde, bei der Verwendung von Indizes zu bleiben, wenn man sich auf Komponenten bezieht. Dies hindert einen nicht daran, sich direkt auf die 4-Vektoren oder andere Tensoren zu beziehen, wenn man möchte.

Köcher · Answer 2

Ich stimme zu, dass der Wikipedia-Artikel verwirrend ist. $A^\mu$ stellt die Komponenten des Vektors dar $\mathbf{A}$ bezüglich der Basisvektoren.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Wenn ich es also mit Basisvektoren multiplizieren würde, würde ich A erhalten, was ein Vektor ist? Ich habe irgendwo gehört, dass Sie einen Skalar erhalten würden, wenn Sie über denselben Index summieren. Ist es richtig? Denn oben haben wir über denselben Index summiert und einen Vektor erhalten. Entschuldigung falls meine Fragen blöd sind bin noch ein wenig neu in dem Thema...
@BruceWayne Wenn Sie die Komponenten der Vektoren summieren, erhalten Sie einen Skalar. In dieser Summe nehmen Sie im Grunde genommen eine lineare Kombination einiger Basisvektoren mit bestimmten Koeffizienten

Ishika_96_sparkle · Answer 3

Die Notation, die in diesem Wiki-Artikel für einen Vierervektor verwendet wird, scheint zu setzen $\textbf{A}\equiv\textsf{A}^{\mu}$ .

wobei der griechische Index über die vier Raum-Zeit-Indizes 0,1,2,3 läuft und jeweils die Komponenten dieses 4er-Vektors darstellt $\textrm{A}$ dh { $A^0,A^1,A^2,A^3$ } in Bezug auf den Satz von zueinander orthogonalen Basisvektoren ${\mathbf{E}_{\mu}}$ dh { $E_0,E_1,E_2,E_3$ }.

Dies steht in direkter Analogie zu der üblichen Vektordarstellung in 2D oder 3D, beispielsweise als Spalten-\Zeilen-Vektor oder als Zeilen-Vektor $\vec{a}=\{a_1,a_2,a_3\}$ genommen in einer orthogonalen Einheitsbasis $\hat{e}=\{\hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3\}$ .

Der Unterschied in der 4-Vektor-Raum-Zeit-Formulierung besteht in den Begriffen der kovarianten und kontravarianten Indizes und ihrer Algebra.

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