Zum Beispiel behandeln wir in der Newtonschen Physik die Position von Objekten, Verschiebungen, Geschwindigkeiten, Kräfte, Impulse, Winkelgeschwindigkeiten usw. alle als Vektorgrößen (kleine Pfeile im Raum, die eine bestimmte Richtung und Größe haben, die unter Verwendung des Parallelogrammgesetzes der Vektoraddition & hinzugefügt werden können kann mit Skalaren multipliziert werden). Aber wer hat gesagt, dass diese physikalischen Größen mit Vektoralgebra modelliert werden können? Ist das eine empirische Aussage oder steckt dahinter eine theoretische Begründung?
Warum addieren sich beispielsweise Geschwindigkeiten in der Newtonschen Mechanik linear? Wenn einem Objekt eine Geschwindigkeit von 10 m/s nach Norden und eine Geschwindigkeit von 10 m/s nach Osten gegeben wird, werden die beiden Geschwindigkeiten gemäß dem, was mir beigebracht wurde, nur wie Vektoren addiert, um die Nettogeschwindigkeit des Objekts zu ergeben, aber ich ziehe es nicht an Siehst du nicht, wie diese Aussage in irgendeiner Weise offensichtlich ist? Gibt es einen tieferen Grund, warum sich die Geschwindigkeit im euklidischen Raum wie ein Vektor verhalten sollte?
Außerdem sind die in der Newtonschen Mechanik verwendeten Vektoren, wie ich es verstehe, Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum, während wir in der Relativitätstheorie (wo sich Geschwindigkeiten nicht linear addieren) vier Vektoren in einem anderen abstrakten Raum verwenden, richtig? Wenn die Relativitätstheorie die grundlegendere Theorie ist, warum verhalten sich dann diese vier Vektoren im abstrakten Raum für niedrige Geschwindigkeiten wie euklidische Vektoren im realen Raum? Wo ist die Verbindung?
Wann können wir Vektoralgebra verwenden, um physikalische Größen zu modellieren? Es gibt ungefähr 5 verschiedene Definitionen von Vektoren, die mir bisher begegnet sind. Wie definieren wir Vektoren in der Physik formal?
Bitte seien Sie so ausführlich wie möglich.
Wie definieren wir Vektoren in der Physik formal?
Ein Auszug aus Kapitel eins, Seite 12 von „ Mathematics of Classical and Quantum Physics “
Ursprünglich haben wir einen Vektor als geordnetes Tripel von Zahlen eingeführt. Die Regel zum Ausdrücken der Komponenten eines Vektors in einem Koordinatensystem in Bezug auf seine Komponenten in einem anderen System sagt uns, dass, wenn wir unsere Aufmerksamkeit auf einen physikalischen Vektor richten und das Koordinatensystem drehen, der Vektor unterschiedliche numerische Komponenten bei der Drehung haben wird Koordinatensystem.
Wir werden also zu der Erkenntnis geführt, dass ein Vektor wirklich mehr ist als ein geordnetes Tripel. Vielmehr sind es viele Mengen geordneter Tripel, die auf eine bestimmte Art und Weise zusammenhängen. Man spezifiziert einen Vektor, indem man drei geordnete Zahlen angibt, aber diese Zahlen werden von einer willkürlichen Sammlung von drei Zahlen unterschieden, indem das Transformationsgesetz unter Drehung des Koordinatensystems als Teil der Definition aufgenommen wird. Dieses Gesetz sagt aus, wie sich alle Vektoren ändern, wenn sich das Koordinatensystem ändert.
Somit kann ein physikalischer Vektor durch unendlich viele geordnete Tripel dargestellt werden. Das jeweilige Tripel hängt von der Orientierung des Koordinatensystems des Beobachters ab. Dies ist wichtig, da die physikalischen Ergebnisse unabhängig vom Betrachtungspunkt, dh unabhängig von der Ausrichtung des eigenen Koordinatensystems, gleich sein müssen.
Dies ist der Fall, wenn ein gegebenes physikalisches Gesetz Vektoren auf beiden Seiten der Gleichung beinhaltet. Von diesem Standpunkt aus können nun die Transformationsregel und die Orthogonalitätsbeziehungen verwendet werden, um Vektoren zu definieren .
Eine physikalische Größe ist ein Vektor, wenn sie sich bei einer Transformation des Koordinatensystems wie ein Ortsvektor transformiert.
Neugierig
Peter Diehr