4-Geschwindigkeiten in verschiedenen Frames

Ich habe versucht, es auf folgende Weise zu tun, aber ich weiß nicht, ob ich die Produktregel als solche verwenden kann, wenn Matrizen und Vektoren beteiligt sind.

$$\begin{equation*} U'=\frac{dX'}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\Lambda{X}=\frac{d\Lambda}{d\tau}X+\Lambda\frac{dX}{d\tau}=\Lambda\frac{dX}{d\tau}=\Lambda{U} \end{equation*}$$

seit der Lorentz-Transformationsmatrix$\Lambda$ist unabhängig von der Eigenzeit$\tau$.

Wenn Sie sich mit Matrizen und Vektoren nicht wohlfühlen, wählen Sie einen beliebigen Rahmen aus orthogonalen Einheitsvektoren$\vec e_0,$ $\vec e_1,$ $\vec e_2,$Und$\vec e_3.$Dann$\vec X=\sum_\mu X^\mu \vec e_\mu.$Sie können auch einen möglicherweise anderen willkürlichen Rahmen aus orthogonalen Einheitsvektoren auswählen$\vec e'_0,$ $\vec e'_1,$ $\vec e'_2,$Und$\vec e'_3.$Dann$\vec X=\sum_\mu X'^\mu \vec e'_\mu.$Nun ist die Lorentz-Transformation eine Koordinatentransformation, die das Vier-Tupel von Zahlen sendet$(X^0,X^1,X^2,X^3)$zu einem möglicherweise anderen Vierertupel von Zahlen$(X^{'0},X^{1'},X^{2'},X^{'3}).$

Und um es ganz klar zu sagen, ein Vektor ist ein geometrisches Objekt, das in eine bestimmte Richtung zeigt, von einem Wann-Wo zu einem anderen Wann-Wo. Und das Vier-Tupel ist nur eine andere Art, den Vektor zu schreiben, vier Instanzen, die Sie schreiben können$X=(X^0,X^1,X^2,X^3)$statt zu schreiben$\vec X= X^0 \vec e_0+X^1 \vec e_1+X^2\vec e_2+X^3 \vec e_3.$Und du könntest schreiben$(X^{'0},X^{1'},X^{2'},X^{'3})$statt zu schreiben$X^{'0}\vec e'_0+X^{1'}\vec e'_1+X^{2'}\vec e'_2+X^{'3}\vec e'_3.$

Alles, was Sie tun, ist, eine andere Basis zu wählen, um denselben Vektor als 4-Tupel von Zahlen zu schreiben. Verschiedene vier Tupel, derselbe Vektor. Und ein Vorteil davon ist gerade, dass man den Umgang mit Vektoren und Matrizen nicht lernen muss. Stattdessen können Sie das notieren$X^{'\mu}=\sum_\nu\Lambda^{\mu}_{\nu}X^\nu,$wobei alles in dieser Gleichung ein Skalar ist. Dann kann man differenzieren.

Nun, das ist eine Gleichung für Skalare und bezieht sich nur auf die Differenzierung von Vektoren, da die Wahl der Basisvektoren für jede Zeit und jeden Ort buchstäblich in die gleiche Richtung und Größe zeigte. Andernfalls müssen Sie lernen, wie man Vektoren unterscheidet. Aber die Produktregel gilt.

Ich habe das Gefühl, dass dies einer dieser Beweise ist, die zu einfach zu funktionieren scheinen

Sie könnten einen Vektor auf der xy-Basis im Vergleich zum differenzieren$\theta, r$Wenn Sie etwas Komplizierteres wollen, sollten Sie das lernen, bevor Sie sich mit der Allgemeinen Relativitätstheorie befassen.

• Wichtig ist, dass es keinen Einblick in das Warum bietet$\tau$ist eher ein guter Parameter als die Zeit$t$beobachtet in$S$.

Jetzt, da Sie wissen, dass es derselbe Vektor ist, nur ausgedrückt in zwei verschiedenen Basis, können Sie sehen, dass es überhaupt keinen Sinn machen würde, ihn in Bezug auf eine zufällige Basis zu differenzieren, als ob er besser als jede andere Basis wäre. Sie könnten es wirklich in Bezug auf jede orthonormale Basis differenzieren und dann am Ende einen Einheitslängenvektor erstellen, und das ist in Ordnung. Weil Sie die Tangente an die Weltlinie finden und wenn Sie nach der richtigen Zeit parametrisieren, skalieren Sie die Tangente, um eine Einheitslänge zu haben.

Auch hier können Sie in einer flachen euklidischen Ebene zum Kalkül zurückkehren und herausfinden, wie man eine Einheittangente an eine Kurve berechnet, und eine Möglichkeit besteht darin, sie nach Bogenlänge zu parametrisieren und sie dann in Bezug auf die Bogenlänge zu differenzieren.

Und das ist nicht kompliziert, die Ableitung ist nur eine Differenz von Vektoren geteilt durch einen Skalar. Wenn dieser Skalar die Länge (Eigenzeit) ist, dann haben Sie einfach einen Einheitsvektor erstellt, der zwischen ihnen zeigt. Das ist alles, was vor sich geht.

Es gibt zwei verschiedene Fragen, die nichts miteinander zu tun haben.

Der erste ist, wie die 4-Geschwindigkeit definiert ist. Per Definition sind Geschwindigkeiten tangentiale Strömungen an einem Differentialverteiler, daher müssen Ableitungen in Bezug auf den Parameter vorgenommen werden, mit dem Sie die Strömung beschreiben. Im Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie ist ein solcher Parameter die Eigenlänge$s$(oder die richtige Zeit$\tau$, die beiden unterscheiden sich um einen konstanten Faktor, daher können Sie einfach den gesamten Satz von Gleichungen umparametrieren, um ersteres aus letzterem zu erhalten). Die Standardzeit$t$ist eine Variable auf der Mannigfaltigkeit, nicht mehr der Parameter, mit dem Sie die Flüsse beschreiben, daher hat es kein Recht, als Derivat befördert zu werden. Beachten Sie, dass dies nichts damit zu tun hat, wie "chaotisch" (gemäß Ihrer Terminologie) die endgültigen Gleichungen sein werden. Die Dinge können chaotisch, aber immer noch korrekt sein, oder umgekehrt.

Die zweite Frage ist, wie sich diese 4-Geschwindigkeiten in verschiedenen Referenzrahmen transformieren. Sobald Sie die Definition haben, können Sie einfach Ableitungen nehmen, wie Sie es oben getan haben (Brute-Force-Methode), oder Sie könnten anspruchsvollere Ansätze der Vektorrechnung verwenden, die zeigen, wie sich Komponenten von Tangentenvektoren zwischen Diagrammen einer Mannigfaltigkeit transformieren, sobald Sie eine zugrunde liegende Koordinatentransformation festgelegt haben: die Ergebnisse werden die gleichen sein.

Dein Beweis ist vollkommen richtig. Relativität muss nicht schwierig sein :)

Um es klar zu sagen, die Schritte in Ihrem Beweis sind einfach die Definition von$U'$, Die Definition von$X'$, die Produktregel, die Konstanz von$\Lambda$, und die Definition von$U$, bzw. An keinem dieser Schritte ist etwas auszusetzen.

Warum$\tau$und nicht$t$:$\tau$wird basierend auf der Weltlinie so definiert, dass sie zwischen den Koordinatensystemen nicht variiert. Das heißt, ob ich in arbeite$S$oder$S'$, wird ein bestimmtes Ereignis auf der Weltlinie des Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt stattfinden$\tau$. Andererseits wird es zur Koordinatenzeit passieren$t$In$S$und bei$t' \neq t$In$S'$. Also durch Nutzung$\tau$In erster Linie müssen wir uns keine Gedanken über die Transformation machen$t \to t'$überall.

Um zu sehen, wie dies die Dinge vereinfacht, versuchen Sie, Ihren Beweis mit zu rekonstruieren$V$stattdessen:

$$V' = \frac{\mathrm{d}X'}{\mathrm{d}t'} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'} (\Lambda X) = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}t'} X + \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} = \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} \neq \Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}.$$ Wenn wir versuchen zu konvertieren $\Lambda \, \mathrm{d}X/\mathrm{d}t'$hinein $S$-Frame-Mengen bekommen wir tatsächlich ein Durcheinander. Tatsächlich kann ich den Ausdruck nicht schreiben, ohne Komponenten und die Einstein-Summennotation zu verwenden. Wir können schreiben $$\Lambda \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}t'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \frac{\partial x^\nu}{\partial t'} \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}x^\nu} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^\nu{}_{t'} \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}x^\nu},$$ seit $x^\nu = \Lambda^\nu{}_{\nu'} x^{\nu'}$. Das heißt, Sie müssen nicht nur die vier Komponenten kombinieren $V = \mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}t$sondern auch zwölf andere Derivate, um zu bekommen $V'$. ¹

Nun, wenn Sie versucht haben, zu verwenden$t$statt$t'$ überall , wo man differenzierte, ob man nun differenzierte oder nicht$X$oder$X'$, würde alles klappen. Aber so definierte Geschwindigkeiten hätten nur in einem Koordinatensystem schöne Eigenschaften (wie die Einheitsnorm), und die ganze Idee der Relativitätstheorie ist, dass Sie Physik in jedem Koordinatensystem betreiben können, solange Sie konsistent sind.

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In der Sprache der Tensoren heißt das, weil$V$Und$V'$sind jeweils nur vier von sechzehn Komponenten eines Rang-2-Tensors. Im Allgemeinen benötigen Sie alle Komponenten eines Tensors, um sie in einem anderen Rahmen zu finden.$U$Und$U'$, andererseits sind Rang-1-Tensoren (auch bekannt als Vektoren), wenn Sie also alle vier Komponenten von haben$U$, können Sie alle Komponenten leicht finden$U'$.