"Vektoren", dh (1,0)-Tensoren, ihre Definition und Motivation für die Relativitätstheorie

Lassen Sie uns dies systematisch tun: (Ich muss zugeben, dass der Teil Ihrer Frage mit "beweise das$p'$ist kein Vektor, wenn$p$is" hat für mich nicht wirklich Sinn ergeben, also habe ich beschlossen, Ihnen zu zeigen, wie Vektoren in GR wirklich definiert sind und wie Transformationen wirklich funktionieren. Sie können mir gerne sagen, dass ich mich um meine eigenen Angelegenheiten kümmern soll, wenn Sie nicht danach suchen ;) )

Lassen$\mathcal{M}$sei unsere Raumzeit-Mannigfaltigkeit (denke$\mathbb{R}^4$). Lassen$p \in \mathcal{M}$ein Punkt sein und$x,y : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}^4$Koordinaten sein$\mathcal{M}$, dh das 4-Tupel$(x^0(p),x^1(p),x^2(p),x^3(p))$Und$(y^0(p),y^1(p),y^2(p),y^3(p))$denselben Punkt darstellen. Am Punkt$p$, definieren wir den Tangentenvektorraum $T_p\mathcal{M}$durch die partiellen Ableitungen bzgl. der Koordinaten aufzuspannen, dh wir haben den Raum der Linearkombinationen

$$T_p\mathcal{M}[x] := \left\{\sum_{\mu = 0}^3 c^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} | c^\mu \in \mathbb{R}\right\}$$

und die Koeffizienten$c^\mu$sind das, was wir normalerweise unsere Vektorkomponenten nennen. Wenn wir sagen, dass ein Tupel$(v^0,v^1,v^2,v^3)$ein Vektor ist, meinen wir per Definition , dass es den Vektor darstellt$\sum_\mu v^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$an einem (oft stillschweigend) verstandenen Punkt.

Eine Koordinatentransformation ist nun gegeben durch$y \circ x^{-1}$, oft bezeichnet$y(x)$durch Notationsmissbrauch. Nun müssen unsere Vektoren in Ableitungen bzgl. der neuen Koordinaten ausgedrückt werden$y^\mu$. Nach der Kettenregel$\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}\frac{\partial}{\partial y^\nu}$, also sind die transformierten Koeffizienten

$$c'^\mu = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu} c^\nu$$

Dies ist das Transformationsgesetz für Vektoren . Wenn Ihre Koordinatentransformation nur eine konstante Matrix wie eine Rotation oder eine Lorentz-Transformation ist,$\frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu}$sind nur seine Matrixkomponenten. Da unsere Vektoren an einem Punkt per Definition im Tangentialraum leben, transformieren sie per Definition wie folgt.

Ein Skalar ist jede Größe, die sich unter Koordinatentransformation in keiner Weise transformiert oder äquivalent dazu eine Transformation die Form der Identität annimmt. Offensichtlich sind Vektoren keine Skalare. Der "Raum der Skalare" an einem Punkt ist einfach$\mathbb{R}$(oder$\mathbb{C}$, je nach Wunsch), also Zahlen, die sich bei Koordinatentransformationen nicht ändern.

Wie bauen wir nun Skalare aus Vektoren auf? Wir definieren den dualen Vektorraum oder Kotangensraum , der von den Differentialen aufgespannt werden soll$\mathrm{d}x$, dh

$$T^*_p\mathcal{M}[x] := \left\{\sum_{\mu = 0}^3 \omega_\mu \mathrm{d}x^\mu\right\}$$

und wiederum durch die Kettenregel transformieren sich diese nun genau umgekehrt in Vektoren, dh

$$\omega'_\mu = \sum_{\nu = 0}^3 \frac{\partial x^\nu}{\partial y^\mu}\omega_\nu$$

Jetzt gibt es in GR eine Metrik für die Raumzeit, die durch Koeffizienten gegeben ist$g_{\mu\nu}$. Gegeben ein Vektor $c^\mu$, definieren wir seinen dualen Vektor als$c_\mu := \sum_\nu g_{\mu\nu}c^\nu$. Nun, ein beliebiges Tupel als Vektor gegeben$c^\mu$, können wir das Skalarprodukt bilden

$$(c,c) = \sum_\mu c^\mu c_\mu$$

Für jede gegebene Koordinatentransformation können Sie leicht überprüfen, ob sich die Ableitungen aus den Transformationen des Vektors und des Covektors aufheben und dass dieses Ding tatsächlich unter Koordinatentransformationen unveränderlich ist und daher ein Skalar ist.

BEARBEITEN : Um nun eine allgemeine Klasse der Beispiele zu betrachten, die Sie scheinbar sehen sollen, beachten Sie das für Vektoren$p^\mu$,$q^\nu$im obigen Sinne Tupel wie$(p^0 q^0, p^1,p^2,p^3)$können keine Vektoren sein, da sich die ersten Komponenten bezüglich der Koordinatentransformation zweimal transformieren würden, während die anderen nur einmal transformieren würden, aber das Gesetz der Vektoren besagt, dass alle Komponenten gleich transformieren, und zwar genau in der oben angegebenen Weise.

Ich wollte nur kommentieren, worauf die Frage aus Zees Buch meiner Meinung nach hinausläuft. Ich denke nicht, dass diese Frage von Zee eine besonders gute Frage ist, und ich denke, dass die Antwort von ACuriousMind ausgezeichnet ist und die wahren Punkte anspricht, die Sie lernen sollten. Dies wird also nur geschrieben, um zu versuchen, Zees Buch zu klären, anstatt zu versuchen, eine konkurrierende Antwort auf diese Frage zu geben.

Nehmen wir an, wir haben einen Vektor$\vec{p}$was in irgendeiner Basis ausgedrückt wird (nennen wir es die „ungestrichene Basis“) als$\vec{p}=p_1 \hat{e}_1 + p_2 \hat{e}_2$. Wir können ausdrücken$\vec{p}$in einer neuen Basis, die durch Drehen um einen Winkel gebildet wird$\theta$(Dies ist eine "passive" Ansicht von Rotationen)

$$\begin{equation} \vec{p} = p_1'\hat{e}_1' + p_2' \hat{e}_2' = \left(p_1\cos\theta+ p_2 \sin \theta \right)\hat{e}_1' + \left(-p_1 \sin \theta + p_2 \cos \theta \right) \hat{e}_2' \end{equation}$$ So weit, ist es gut.

Lassen Sie uns nun ein Objekt definieren$\vec{q}$, die die folgenden Komponenten in der unprimen Basis hat:

$$\begin{equation} \vec{q}=q_1 \hat{e}_1 + q_2 \hat{e}_2 = a p_1 \hat{e}_1 + b p_2 \hat{e}_2 \end{equation}$$

Jetzt in Ordnung für$\vec{q}$Um ein Vektor zu sein, muss es das sein, was in der Primzahl ausgedrückt wird, es hat die Form

$$\begin{equation} \vec{q} = \left(a p_1 \cos \theta + b p_2 \sin \theta\right)\hat{e}_1' + \left(- a p_1 \sin \theta + b p_2 \cos \theta \right)\hat{e}_2' \end{equation}$$

Bisher gibt es kein Problem für jeden Wert von$a$oder$b$. Auf einer festen Basis können die Komponenten eines Vektors jeden beliebigen Wert haben, also könnte ich genauso gut einfach die Komponenten von nennen$\vec{q}$in der ungestrichenen Basis$a p_1$Und$b p_2$. Es ist nur eine seltsam aussehende Parametrisierung eines beliebigen Vektors in der nicht gestrichenen Basis. Solange nach einer Drehung$\vec{q}$obiges Formular hat, dann ist alles in Ordnung.

Ich denke, der Punkt, den Zee mit seiner Frage zu erreichen versucht, kann so formuliert werden: In der Primzahl,

$$\begin{equation} \vec{q} \neq a p_1' \hat{e}_1' + bp_2' \hat{e}_2' \end{equation}$$ es sei denn $a=b$.

Mit anderen Worten, obwohl es im Originalrahmen so ist$q_1 = a p_1$Und$q_2= b p_2$, im gedrehten Frame stimmt das sicher nicht$q_1' = a p_1'$Und$q_2' = b p_2'$.

Dies ist natürlich völlig offensichtlich, wenn Sie nur drehen$\vec{q}$, dann sieht man das deutlich$q_1' = ap_1 \cos \theta + b p_2 \sin \theta \neq a (p_1 \cos \theta + p_2 \sin \theta) = a p_1'$.

Ich denke, der größere Punkt, den Zee zu erreichen versucht, ist, dass Sie nur Vektorbeziehungen vertrauen sollten, nicht Beziehungen zwischen Komponenten:$q_1 = a p_1$ist keine "gute" Beziehung, weil sie nur in einem bestimmten Rahmen wahr ist.

Die einzige Ausnahme hiervon ist if$a=b$; mit anderen Worten, wenn sich herausstellt, dass alle Komponenten zweier Vektoren in einem Frame proportional sind , dann haben Sie tatsächlich eine Vektoraussage$\vec{q}=a\vec{p}$was dann in jedem Frame zutrifft. Diese Tatsache wird häufig in GR verwendet - um zu zeigen, dass zwei Tensoren gleich sind, müssen Sie nur zeigen, dass sie in einem bestimmten Rahmen gleich sind, also wählen Sie oft den einfachstmöglichen Rahmen, in dem die Tensoren ausgewertet werden.

Aber meiner Meinung nach ist dies eine schlechte Frage (oder zumindest schlecht formuliert). Daran ist nichts auszusetzen$\vec{q}$ein Vektor für beliebige Werte von sein$a$Und$b$, das eigentliche Problem ist das$q_1=ap_1$ist keine kovariante Aussage, und das war aus der ursprünglichen Frage ziemlich unklar.