Kann/sollte in der Relativitätstheorie jede Messung auf die Messung eines Skalars reduziert werden?

1. Lass$p\in M$sei ein Punkt in der Mannigfaltigkeit$M$. Ein Tensor vom Typ$(r,s)$bei$p$ist ein Element des Tensorprodukts zwischen$r$Kopien des Tangentialraums bei$p$und$s$Kopien des Kotangensraums bei$p$. Um den Tensor auszuwerten, stecken Sie die Vektoren aus dem Frame und dem Coframe ein. Zum Beispiel, wenn der Rahmen ist$(e_i)$, und$(e^i)$ist sein Dual, die Komponente$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$wird ausgewertet durch

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Das wurde kommentiert$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$kann kein Skalar sein, weil es vom Rahmen abhängt. Es ist wahr, dass, wenn Sie sich ändern$(e_i)$,$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$Änderungen, und das habe ich oben bereits gesagt. Aber es gibt keinen Widerspruch zwischen dem und der Tatsache, dass$T_{i_1,...,i_r,j_1,\ldots\,j_s}$ist ein Skalar. Bedenken Sie das der Einfachheit halber$T$ist ein Covektor. Wenn wir es mit einem Vektor kontrahieren$v$, erhalten wir einen Skalar$T(v)=T_jv^j$. Wenn wir uns jetzt ausdrücken$T$und$v$in einem anderen Frame erhalten wir denselben Skalar$T(v)=T'_j v'^j$, wo$T'_j$und$v'^j$sind die neuen Komponenten. Alle sind sich einig, dass wir einen Skalar erhalten, wenn wir einen Covektor mit einem Vektor kontrahieren. Aber erinnern Sie sich daran$(e_i)$sind auch Vektoren. Warum, wenn wir den Vektor ersetzen$v$mit dem Vektor$e_i$, wäre das Ergebnis kein Skalar? In diesem Fall bekommen wir$T(e_i)=T_je_i{}^j$. Drücken wir jetzt in einem anderen Frame beides aus$T$und$e_i$, erhalten wir denselben Wert$T(e_i)=T'_je_i'{}^j$. So$T(e_i)$ist ein Skalar, der von den Vektorfeldern abhängt$(e_i)$. Es ist derselbe Skalar, wenn wir beide ausdrücken$T$und$(e_i)$in einem anderen Rahmen.

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2. Es gibt zwei Hauptgründe, warum wir Indexgymnastik machen können. Erstens, weil$g_{ij}$ist nicht entartet, sein Kehrwert (invers)$g^{ij}$ist eindeutig definiert, und beide geben Isomorphismen zwischen den Tangenten- und Kotangensbündeln an. Mit diesen Isomorphismen können wir Indizes erhöhen und verringern. Zweitens, wenn eine durch die Levi-Civita-Verbindung definierte kovariante Ableitung beteiligt ist,$\nabla g=0$. Aus diesem Grund wird bei der Anwendung der Lebniz-Regel auf Tensoren, die mit der Metrik kontrahiert werden, der Term enthaltend$\nabla g$verschwindet, daher tauschen Indexerhöhungen und -senkungen mit kovarianten Ableitungen aus.

3. Ein Thema, das in der Frage diskutiert wird, ist, ob es immer gerechtfertigt ist, unterschiedliche Tensoren zu identifizieren, indem man indexerniedrigende oder indexerhöhende Isomorphismen verwendet . Anscheinend ist es so, weil Indexerhöhungs- und -senkungsoperationen Isomorphismen sind. Aber ich werde weiter unten erklären, dass dies zu langjährigen Problemen in der Relativitätstheorie führte.

Die Metrik ist dynamisch, sie entwickelt sich mit der Zeit, und ihre Entwicklung wird durch Einsteins Feldgleichung bestimmt. Einsteins Gleichung zeigt, wie die Krümmung mit der Spannungsenergie der Materie zusammenhängt (In "Materie" schließe ich auch bosonische Felder ein. Alles, was mit einem Spannungsenergietensor einhergeht.). Nun, es gibt keinen Grund, warum diese Entwicklung nicht zu degenerierten Metriken führen sollte. Und wie aus den Singularitätstheoremen von Penrose und Hawking bekannt ist , werden Singularitäten in sehr allgemeinen Situationen erhalten.

Die erhaltenen Singularitäten werden normalerweise als guter Grund angesehen, die Allgemeine Relativitätstheorie aufzugeben und durch etwas Radikaleres zu ersetzen. In den meisten Fällen sind auch die "radikaleren" Ansätze mit Singularitäten behaftet, oder wenn nicht, dann weil sie die Dynamik (die Einstein-Gleichungen) verändern.

Singularitäten sind unvermeidlich, aber sie kommen in vielen Geschmacksrichtungen vor. In einigen Fällen hat die Metrik singuläre Komponenten, z. B. für die Schwarzschild-Metrik ,$g_{tt}=1-\frac {2m}{r}$ist singulär bei$r=0$. In anderen Fällen ist die Metrik entartet, d. h.$\det g=0$. In diesem Fall,$g_{ij}$bestimmt keinen Isomorphismus zwischen den Tangenten- und Kotangensräumen, und wir können ihn nicht definieren$g^{ij}$. Daher können wir keine Indizes erhöhen. Wir können sie senken, aber in diesem Fall verlieren wir Informationen. Seit$g^{ij}$ist Teil der Definition der geometrischen Objekte, die in der semi-riemannschen Geometrie (daher in der Allgemeinen Relativitätstheorie) benötigt werden, wie die Levi-Civita-Verbindung und die Riemann-, Ricci- und Skalarkrümmungen. Daher macht Einsteins Gleichung keinen Sinn.

Die Lösung ist einfach, aber es stellte sich als schwierig heraus, sie umzusetzen. Finden Sie einen Weg, um die gesamte semi-riemannsche Geometrie zu rekonstruieren, ohne sie zu verwenden$g^{ij}$. Überraschenderweise ist dies möglich und wurde in arXiv:1105.0201 durchgeführt . Eine spezielle Klasse von Singularitäten, die als halbregulär bezeichnet wird, hat unsere dazu gebracht, eine glatte Riemann-Krümmung zu haben$R_{ijkl}$. Notiere dass der$R^i{}_{jkl}$Version bleibt im Allgemeinen singulär, wenn die Metrik degeneriert ist, weil sie von erhalten wird$R_{sjkl}$durch Vertrag mit$g^{is}$. Der übliche Ansatz wird zuerst definiert$R^i{}_{jkl}$, doch wenn$g^{ij}$singulär ist, kann man nur definieren$R_{ijkl}$. Andere geometrische Objekte wurden in dieser Referenz definiert. Konkretere Beispiele wurden in arXiv:1105.3404 eingebaut .

Diese Methode erlaubt die Beschreibung von Singularitäten durch nicht-singuläre geometrische Invarianten. Zum Beispiel hat es funktioniert, um eine nicht-singuläre Beschreibung der FLRW-Singularität ( arXiv:1112.4508 , arXiv:1203.1819 ) zu finden, um mehr Big-Bang-Lösungen zu finden, die nicht-singuläre Beschreibungen zulassen, und sogar die Weyl-Krümmungshypothese von Penrose ( arXiv:1203.3382 ).

Aber was wir tun, wenn Komponenten der Metrik$g_{ij}$sind singulär? Zum Beispiel die Schwarzschild-Metrik ,$g_{tt}=1-\frac {2m}{r}$ist singulär bei$r=0$. Die Komponente$g_{rr}=(1-\frac {2m}{r})^{-1}$ist auch Singular für$r=2m$, am Ereignishorizont, aber diese Singularität ist auf die Koordinaten zurückzuführen, wie man anhand der Eddington-Finkelstein- oder Kruskal-Szekeres- Koordinaten sieht. Diese Koordinaten zeigen, dass die Metrik am Ereignishorizont regelmäßig ist, aber sie erschien singulär, weil die Schwarzschild-Koordinaten bei singulär sind$r=2m$. Könnte es nicht sein, dass die Singularität$r=0$liegt das auch an den koordinaten? Nun, diese Singularität ist echt, da die Invariante$R_{ijkl}R^{ijkl}\to\infty$. Aber vielleicht ist es eine wohlerzogene Singularität. In arXiv:1111.4837 wurde gezeigt, dass es Koordinaten gibt, die die Schwarzschild-Metrik an der Singularität analytisch machen$r=0$. Daher gilt in diesen neuen Koordinaten$g_{ij}$ist degeneriert und auch glatt. Darüber hinaus ist diese Singularität semiregulär, und wir können die in arXiv:1105.0201 entwickelte Geometrie anwenden . Nichtsinguläre Koordinaten wurden auch für die geladenen Singularitäten ( arXiv:1111.4332 ) und die rotierenden ( arXiv:1111.7082 ) gefunden.

Fazit: Man sollte den unteren und den oberen Index nicht identifizieren, weil die resultierenden Tensoren unterschiedlich sind. Es ist wahr, dass wir sie identifizieren können, solange die Metrik nicht degeneriert ist, aber wenn die Metrik degeneriert wird, entstehen große Probleme durch diese Identifizierung.

Aktualisieren. Ich werde das Hauptbeispiel kommentieren, das des Stress-Energie-Tensors in Browns Artikel.

ich.

In der Behandlung auf S. 131 von Misner geben sie$T_{\mu\nu}=(\rho+P)v_\mu v_\nu+P g_{\mu\nu}$für eine perfekte Flüssigkeit; dies ist nicht skalarisiert und scheint tatsächlich Browns Verwendung von zu widersprechen$T^\mu_\nu$.

In MTW p131 sprechen sie von einer perfekten Flüssigkeit. Dadurch ist der Druck in alle Richtungen gleich. In Brown ist die Stress-Energie für eine kugelsymmetrische Materieverteilung (die nicht immer eine Flüssigkeit ist).$T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,p_r,p_\theta,p_\phi)$. Beachten Sie, dass Brown davon ausgeht, dass es keine Komponenten außerhalb der Diagonale gibt (keine Scherspannung aufgrund der Kugelsymmetrie und keine Impulsdichte, da dieses Schwarze Loch statisch ist). Nur Energiedichte und Druck.

Später nimmt Brown die Stress-Energie zu sich$T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,0,0)$, unter der Annahme, dass nur radiale Spannung vorhanden ist. Diese Annahme wird gemacht, um ein Gewinde zu modellieren (eigentlich ein Gewinde für jede radiale Richtung), und deshalb unterscheidet es sich von MTS, wo es als Fluid betrachtet wird.

ii.

Es ist mir nicht klar, dass dies besser mit Messungen korrespondiert, als die gleiche rhs aufzuschreiben, aber mit$T^{\mu\nu}$oder$T_{\mu\nu}$auf der Linken.

In diesem Fall,$T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,0,0)$wird in einem orthogonalen Rahmen ausgedrückt (Brown, Gl. 3). Aber der Rahmen ist nicht orthonormal, da$\chi^2$und$f^2$sind nicht gleich$1$. Also umsteigen auf$T^{\mu\nu}$oder$T_{\mu\nu}$auf der linken Seite ändert die Werte. Im Allgemeinen, wenn Leute schreiben$T^{\mu\nu}=\operatorname{diag}(\rho,P,P,P)$oder ähnliches, sie betrachten es in einem orthonormalen Rahmen, und in diesem Fall$T^\mu_\nu=\operatorname{diag}(-\rho,P,P,P)$.

iii.

Misner 1973 hat eine nette kleine Zusammenfassung dieser Art von Dingen auf S. 131, mit zB einer Regel, die besagt, dass$T^\mu_\nu v_\mu v^\nu$ist als die Masse-Energie-Dichte zu interpretieren, die ein Beobachter mit vier Geschwindigkeiten sieht$v$.

Das hilft nicht, denn es bezieht sich auf$T_{00}$nur. Betrachten wir den Rahmen des Beobachters, sagen wir$(e_0,e_1,e_2,e_3)$, dann$v=e_0=(1,0,0,0)$, somit,$T^\mu_\nu v_\mu v^\nu=T_{00}$. Um die anderen Komponenten von zu finden$T_{\mu\nu}$, sollte man sich mit anderen Elementen des Rahmens zusammenziehen.

Ich denke, wir messen keine Skalare.

Wenn wir an eine lokale Messung des Spannungs-Energie-Tensors denken, sollte dieser immer einer kovarianten Größe entsprechen$T_{ij}$. Wenn eine lokale Messung von Energie/Impuls möglich ist, sollte diese immer einer kovarianten Größe entsprechen$p_i$. Dies kommt von der Definition des Impulses, wenn wir an Lagrange und Aktionen denken, in der klassischen oder Quantenmechanik.

Eine skalare Größe, gebildet aus dem Spannungs-Energie-Tensor und kontravarianten Vektoren, kann einer gemessenen Größe entsprechen, ist aber kein "gemessener Skalar". Darüber hinaus ist die Information, die in skalaren Größen lebt, interessant, aber sehr unvollständig. Ja,$T_{ij}u^iu^j$ist die vom Beobachter mit 4-Geschwindigkeit gesehene Energiedichte$u^i$. Aber ich glaube nicht, dass Sie zum Beispiel den von diesem Beobachter gesehenen Impulsfluss in einem skalaren Ausdruck erhalten können. Ebenso der skalare Ausdruck$p_iu^i$ist die Energie des Energie-/Impulsteilchens$p$vom Beobachter der 4-Geschwindigkeit gesehen$u^i$, aber ich denke, dass Sie keinen skalaren Ausdruck für den Impuls des Teilchens erhalten können, der von demselben Beobachter gesehen wird.

Mengen wie$T_i^j$sind interessant, aber bei der Berücksichtigung lokaler Spannungs-Energie-Tensorgrößen, die von einem entfernten Beobachter gesehen werden. Zum Beispiel in einer Schwarzschild-Metrik,$T_0^0$und$T$sind lokale Spannungs-Energie-Tensoren, aber vom Beobachter im Unendlichen gesehen, also rotverschoben. Dies ist interessant, wenn wir die Gesamtmasse berechnen (mit einem Tötungsvektor$\xi^a = \delta_0^a$) mit Ausdrücken wie:

$M = -2\int d^3x \sqrt{g}[T_0^0 - \frac {T}{2}]$(Padmanabhan 6.208 S. 287)