Wie beweist man, dass ein symmetrischer Tensor tatsächlich ein Tensor ist?

Ein Tensor ist kein speziell relativitätsbezogenes Konzept (siehe zB Spannungstensor ), sondern ein allgemeineres Konzept, das die linearen Beziehungen zwischen Objekten beschreibt, unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems .

Diese Koordinatenunabhängigkeit führt zu dem Transformationsgesetz, das Sie angeben, wobei$\Lambda$, ist nur die Transformation zwischen den Koordinaten, die Sie durchführen. Für die spezielle Relativitätstheorie ist dies die Lorentz-Transformation, aber in der klassischen Physik kann es sich um eine einfache Rotation handeln. Der Punkt ist, dass der Tensor unabhängig von der Änderung der Koordinaten gilt.

Um also zu zeigen, dass etwas ein Tensor ist, müssen Sie nur zeigen, dass es der Transformationsgleichung gehorcht und dass Ihre transformierte Antwort immer noch ein gültiges Ergebnis ist und durch die inverse Transformation in das Original zurücktransformiert werden kann.

Unser Professor hat einen Rang definiert$(k,l)$Tensor als etwas, das sich wie ein Tensor transformiert

Auweh. Allzu häufig und allzu pädagogisch fehlerhaft.

Ein Tensor ist nicht mehr oder weniger als eine lineare Abbildung von (möglicherweise mehreren Kopien) eines Vektorraums (und möglicherweise Kopien seines dualen Raums) in das Skalarfeld.

Wenn ich dir Komponenten gebe$T_{\mu\nu}$(insgesamt 16 Komponenten) in einem bestimmten Koordinatensystem / Basis, dann können Sie damit zwei beliebige Vektoren in einen Skalar abbilden. Betrachten Sie einfach die Vektorkomponenten im selben Koordinatensystem und kontrahieren Sie die Indizes:$T(\vec{v},\vec{w}) = T_{\mu\nu} v^\mu w^\nu \in \mathbb{R}$. Außerdem ist diese Abbildung konstruktionsbedingt linear. Es ist also ein Tensor. Nichts muss überprüft werden.

Was jedoch passiert, ist, dass Sie manchmal gleichzeitig die Komponenten für (scheinbar) dasselbe Objekt in zwei verschiedenen Koordinatensystemen aufschreiben. Beispielsweise haben Sie Ausdrücke für alle 16$T_{\mu\nu}$und weitere 16$T_{\mu'\nu'}$. Wenn Sie alles richtig und konsequent gemacht haben und nicht mit einem absichtlich irreführenden Lehrbuchproblem ausgetrickst werden, sollten diese Komponentensätze über das Transformationsgesetz zuordenbar sein, das Sie allgemein von ungestrichenen zu gestrichenen Koordinaten führt. Es könnte also eine gute Idee sein, zu überprüfen, ob dies gilt. Aber es ist nur eine Gesundheitsprüfung.

Alternativ könnte jemand Sie gerade übergeben haben$T_{\mu\nu}$Und$T_{\mu'\nu'}$und fragte: "Sind diese Komponenten desselben Objekts nur in unterschiedlichen Koordinatensystemen?" Dann können Sie auch die Transformation zur Überprüfung anwenden. Wenn es nicht funktioniert, liegt es nicht daran, dass Sie keinen Tensor haben. Vielmehr haben Sie zwei unterschiedliche Tensoren.

Wenn ich das richtig verstehe, fragen Sie, wie Sie beweisen können, dass die Symmetrie eines Tensors koordinatenunabhängig ist, aber Sie scheinen Probleme mit der Definition eines Tensors zu haben. Nun, du bist nicht der Erste. Lassen Sie mich Ihnen eine Definition geben, die Ihnen helfen könnte.

Nehmen wir zunächst an, Sie haben etwas Raum (es kann 3-Raum oder Raumzeit oder was auch immer sein) und Sie haben einen Satz von Koordinaten$\{x^i\}$darauf definiert. Und nehmen wir an, Sie haben ein Teilchen, das sich in Ihrem Raum bewegt, mit einer Flugbahn, die durch gegeben ist$x^i = x^i(t)$. Hier$t$ist nur ein Parameter. Die Komponenten der Geschwindigkeit findest du in deinem Koordinatensystem:$u_x^i(t) = dx^i/dt$. (Ich verwende Indizes, um Koordinatensysteme zu kennzeichnen.) Hier ist die Sache:

Angenommen, Sie berechnen die Geschwindigkeit in einem anderen Koordinatensystem$\{y^i\}$; es wäre$u_y^i(t) = dy^i/dt$. Aber wenn Sie die Koordinaten kennen$y^i$als Funktion der Koordinaten$x^j$, können Sie herausfinden, wie die beiden Geschwindigkeiten zusammenhängen:

$$u_y^i(t) = \frac{dy^i(x)}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} \frac{d x^j}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} u^j_x(t)$$

Ich habe die Kettenregel und die Tatsache, dass die$y^i$sind Funktionen der$x^j$.$\partial y^i / \partial x^j$je nach Koordinaten unterschiedliche Eigenschaften haben. Im euklidischen 3-Raum verwenden wir typischerweise kartesische Koordinaten und so$\partial y^i / \partial x^j$wäre eine Rotationsmatrix; in der Speziellen Relativitätstheorie wäre es eine Lorentz-Transformation und so weiter. In der Allgemeinen Relativitätstheorie verwenden wir alle Arten von Koordinaten, und die Transformationen werden im Allgemeinen nicht linear sein.

Jetzt wissen wir also, wie sich die Geschwindigkeit eines Teilchens (oder, wie die Mathematiker es nennen würden, der Tangentenvektor an eine Kurve) verändert, wenn Sie die Koordinaten ändern. Oft ist es hilfreich, einen solchen Vektor als Objekt zu betrachten$\vec{u}$das ist koordinatenunabhängig. In der Tat ist dieses ganze Geschäft mit Transformationsgesetzen und Einstein-Konventionen ein Weg, um sicherzustellen, dass die Dinge nicht von Koordinaten abhängen. Die Komponenten eines Vektors (oder eines Tensors) hängen von den Koordinaten ab, aber wenn alles auf die gleiche Weise transformiert wird, haben Gleichungen, die aus Tensoren bestehen, in verschiedenen Koordinatensystemen dieselbe Form.

Nun können wir Vektoren allgemein definieren, indem wir verlangen, dass sie das gleiche Transformationsgesetz haben wie Geschwindigkeiten:

Ein Vektor $\vec{X}$ist eine Funktion, die eine Reihe von Zahlen (ihre Komponenten genannt) zuweist$X_x^i\ (i = 1\dots n)$zu jedem Koordinatensystem$\{x^i\}$, so dass wenn$\{x^i\}$Und$\{y^i\}$sind zwei Koordinatensysteme, die Komponenten von$X$verwandt sind durch

$$X_y^i = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} X_x^j$$

Nebenbemerkung: Was ich definiert habe, ist technisch gesehen ein Vektorfeld, kein einfacher Vektor. Dies ist hier keine wichtige Unterscheidung. Außerdem beschränke ich mich der Einfachheit halber auf koordinierende Basen.

Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie die Definition "Zahlenmenge, die sich so transformiert", aber ich finde es etwas klarer und expliziter, was die Dinge sind.

Ein Tensor kann als etwas definiert werden, das sich als Produkte von Vektoren transformiert: Wenn wir zwei Vektoren nehmen$\vec{u}$Und$\vec{v}$und definieren die (koordinatenabhängige) Größe$T_x^{ij} = u^i_x v^j_x$, dann finden wir in zwei verschiedenen Koordinatensystemen (Definition$\Lambda^i_{\ j} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j}$):

$$T^{ij}_y = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x$$

Nach der Definition eines Vektors können wir a definieren$(2,0)$Tensor$T$(nicht unbedingt ein Produkt von Vektoren wie oben) als eine Funktion, die eine Menge von Zahlen zuweist$T^{ij}_x$zu jedem Koordinatensystem, so dass die Komponenten in zwei verschiedenen Systemen dem obigen Transformationsgesetz folgen.

Kommen wir nun zu Ihrer Frage. Sie fragen, wie man beweist, dass ein symmetrischer Tensor ein Tensor ist, aber das ist eine tautologische Frage, weil ein symmetrischer Tensor offensichtlich ein Tensor ist! Ich vermute, dass die eigentliche Frage wie folgt lautet. Sie haben einen symmetrischen Tensor als einen Tensor definiert, der die Eigenschaft hat$T^{ij} = T^{ji}$. Dies ist eine gültige Definition, aber sie ist a priori koordinatenabhängig. Wir möchten beweisen, dass, wenn die obige Identität in einem Koordinatensystem wahr ist, sie in allen wahr ist.

Nehmen wir also in einigen Koordinaten an$\{x^i\}$das kommt vor$T_x^{ij} = T_x^{ji}$für alle$i,j$. Lassen$\{y^i\}$sei ein beliebiges Koordinatensystem. Dann

$$T_y^{ij} = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{lk}_x = \Lambda^j_{\ l} \Lambda^i_{\ k} T^{lk}_x = T_y^{ji}$$

Um die zweite Gleichheit zu erhalten, habe ich das verwendet$T_x^{kl} = T_x^{lk}$, um die dritte Gleichheit zu erhalten, habe ich die verschoben$\Lambda$s herum, und in der ersten und letzten Gleichung habe ich das Transformationsgesetz für einen Tensor verwendet. Wir haben also herausgefunden, dass, wenn ein Tensor in einem Koordinatensystem symmetrisch ist, er in jedem Koordinatensystem symmetrisch ist. Daher ist es sinnvoll zu sagen, dass Symmetrie eine Eigenschaft des Tensors ist, anstatt seine Darstellung in einem bestimmten Koordinatensystem.

Eine letzte Bemerkung: Wie Sie sagten, kann ein Tensor mit zwei Indizes als Matrix dargestellt werden. Die Ableitungen der Transformation$\partial y^i / \partial x^j$auch als Matrix darstellbar. Diese Matrizen haben unterschiedliche Bedeutungen! Ein Tensor ist ein koordinatenunabhängiges Objekt, und seine Matrix ändert sich, wenn Sie die Koordinaten ändern. Eine Transformation ist nur zwischen einem bestimmten Paar von Koordinatensystemen definiert. Wenn Sie eine Matrix haben$\Lambda^i_{\ j}$Koordinaten beziehen$x$Und$y$wie oben, es macht keinen Sinn zu fragen, was$\Lambda$sieht aus wie in koordinaten$z$. Obwohl also ein symmetrischer Tensor eine symmetrische Matrix hat ($A^T = A$) und eine Rotationsmatrix ist orthogonal ($A^{-1} = A^T$), stehen diese Eigenschaften in keinem Zusammenhang.