Gelten die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie für alle Koordinatensysteme?

Unabhängig davon, was der Artikel sagen mag (obwohl ich es überflogen habe), sind die Einstein-Feldgleichungen

ohne Bezugnahme auf ein bestimmtes Koordinatensystem. Wenn wir mit einem Problem konfrontiert werden, für das wir die Metrik finden möchten, müssen wir zumindest einen Ansatz machen, welche Koordinaten wir verwenden.

Im Allgemeinen besitzt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit einen Atlas von Koordinatenkarten, und es ist nicht unbedingt wahr, dass wir nur eine benötigen, um die gesamte Mannigfaltigkeit abzudecken. Wir wissen jedoch a priori nicht genau, welche Art von Atlas geeignet ist, also wählen wir ein oder mehrere Koordinatensysteme aus.

Bei einem oder mehreren Koordinatendiagrammen können wir dann auch einen Diffeomorphismus durchführen, und es ist garantiert, dass die Physik gleich bleibt; obwohl das Diagramm auch anders aussehen kann$g_{ab}$, Sie beschreiben immer noch dasselbe physikalische System.

Obwohl ich es gesagt habe, lassen Sie mich ausdrücklich wiederholen, dass ein Koordinatensystem, das einen beschleunigenden Rahmen beschreibt, nicht verboten ist, siehe zum Beispiel die berühmten Rindler-Koordinaten .

Der Artikel sagt zu Recht, dass die Topologie der Mannigfaltigkeit einschränkt, welches Koordinatensystem wir wählen können, in dem Sinne, dass die globale Struktur bestimmt, welche Anzahl von Diagrammen ausreichend ist.

Zusammenfassung

Ich glaube, Sie haben absolut Recht, aber im Großen und Ganzen wollen wir die Dinge so haben - denn genau so ist das Äquivalenzprinzip in der geometrischen Allgemeinen Relativitätstheorie kodiert.

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich diesen speziellen Text vollständig verstehe[1], aber es scheint mir, dass der Autor einfach sagt, dass geometrische Axiome, die eine Transformation in Trägheitsrahmen ermöglichen, nur eine kleine Unterklasse aller möglichen Axiome sind, und daher ist GTR vielleicht nicht „unparteiisch“ oder „demokratisch“, wie Einstein glaubte. Das ist wahrscheinlich auch richtig, aber man muss sich für einen Ansatz entscheiden und der von GTR gewählte scheint eine gute „Occam's Razor“-kompatible Wahl zu sein.

Einzelheiten

Es ist wahr, dass wir, sobald wir postulieren, dass die Raumzeit durch eine semi-Riemannsche (Lorentzsche in der Relativitätstheorie) Mannigfaltigkeit beschrieben wird, immer die Möglichkeit der Transformation in Trägheitskoordinaten als Diffeomorphismus „umsonst“ aus dem Postulat bekommen. Tatsächlich spricht Brown darüber im Text in seiner Erörterung der Riemann-Normalkoordinaten[2]: für jeden Punkt$p$dass jedes Koordinatensystem zu einem inertialen System diffeomorph ist$p$, in dem Sinne, dass eine gleichförmige Bewegung entlang der Koordinatenlinien eine echte Trägheitsbewegung ist$p$. Es ist möglicherweise nicht möglich (und im gekrümmten Raum ist dies nicht möglich), diese Bedingung an allen Punkten in der Umgebung des Punktes zu erreichen, aber es kann für jeden Punkt erreicht werden, und das ist alles, was wir brauchen, um Trägheitsbewegung zu definieren.

In der Tat ist das Äquivalenzprinzip so in GTR codiert: Es ist immer möglich, dass ein Körper, der klein genug ist, frei fällt und keine Kräfte spürt - Galileo könnte immer seine Bälle für Schüler mit dem Standardergebnis fallen lassen - (zumindest ist dies ein gründlich vernünftiges physikalisches Postulat), daher müssen wir sicherstellen, dass die geometrische Beschreibung immer eine Transformation zulässt, die die Koordinaten auf einen solchen Körper Minkowskisch zentriert. Und die Annahme einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit garantiert dies.

Es scheint mir also, dass die Berücksichtigung nur von Klassen von Koordinaten, die sich von denen unterscheiden, die Kräfte auf einen Körper aufheben, eine reale, experimentelle Rechtfertigung hat. Wir wollen, dass die Dinge so sind, um sie mit unseren Beobachtungen in Einklang zu bringen.

Brown hat Recht, dass dies wahrscheinlich nicht die einzige Möglichkeit wäre, den Grundbegriff der Äquivalenz zu kodieren: Er/sie scheint die Notwendigkeit einer Metrik in Frage zu stellen: Vielleicht könnte es eine vernünftige Definition von Äquivalenz in einfach einem differenzierbaren Oder geben sogar einfach eine topologische Mannigfaltigkeit. Aber angesichts der Tatsache, dass Lineale und Uhren in Einsteins Gedankenexperimenten immer präsent sind, scheint die Wahl der Lorentzschen Mannigfaltigkeit die einfachste zu sein: eine Art von Aktion nach Occams Rasiermesser angesichts der mathematischen Werkzeuge und Paradigmen, die zu Einsteins Zeit vorherrschten. Irgendwo muss man ja anfangen.

Anmerkungen:

[1] Dies sind die Worte des mysteriösen Kevin S. Brown. Es ist überhaupt nicht klar, wer er/sie ist, außer dem Autor einiger höchst respektabler Inhalte auf mathpages.com. In allen Inhalten, die er/sie zu verfassen scheint, kann ich ihn/sie nur einmal unter dem Namen/Pseudonym „Kevin S. Brown“ finden.

[2] Für jeden Punkt$p$in einem Semi-Riemannian (Lorentzian in der Relativitätstheorie) enthält jeder Kartenatlas mindestens einen, der Koordinaten für eine Nachbarschaft festlegt$\mathcal{N}_p\ni p$von$p$, per Definition. Und solange der Verteiler$M$ist semi-riemannisch, wenn irgendein Punkt gegeben ist$p$und Element$X\in T_p(M)$des Tangentialraums$T_p(M)$bei$p$, eine Geodäte durch den Punkt mit einer Tangente ungleich Null$X$dort ist eindeutig definiert. In der Tat kann man für eine ausreichend kleine Nachbarschaft Riemann-Normalkoordinaten (auch Exponential- oder Geodäten genannt) definieren, die jeden Punkt in der Nachbarschaft durch ein eindeutiges Element des Tangentialraums kennzeichnen: den Vektor$Y\in T_p(Y)$definiert einen Punkt durch$\exp(1\cdot Y)\,p$, dh wir transportieren parallel weiter$Y$entlang der Geodäte, die es definiert, und wir tun dies, bis der affine Parameter entlang der Geodäte um 1 Einheit nach oben taktet. Dann halten wir an und der Punkt, an dem wir angekommen sind, ist der definierte Punkt$Y$in den Exponentialkoordinaten.

Wir können auch eine orthonormale Basis für den Tangentialraum wählen$T_p(M)$und wir können es so wählen, dass ein Einheitsbasisvektor zeitartig ist, die anderen raumartig.

Die Gleichungen gelten auf der Mannigfaltigkeit : Koordinatensysteme sind lediglich ein Buchhaltungsinstrument, das wir verwenden müssen, um die Mannigfaltigkeit zu beschreiben, und sagen überhaupt nichts über die Gültigkeit der Gleichungen aus. In der Natur gibt es keine Koordinaten.

Um für diese Beschreibung nützlich zu sein, müssen Koordinatensysteme gut sein. „Gut“ bedeutet zweierlei:

• das Koordinatensystem muss eine 1-1-Abbildung der Mannigfaltigkeit sein, wo es gültig ist;
• das Koordinatensystem muss die differentielle Struktur der Mannigfaltigkeit berücksichtigen, da die Gleichungen Differentialgleichungen sind.

Dies impliziert, dass bei einem gegebenen guten Koordinatensystem für einen Teil der Mannigfaltigkeit jedes andere gute Koordinatensystem für denselben Teil durch eine differenzierbare Abbildung mit einer differenzierbaren Inversen in Beziehung gesetzt werden muss.

Schließlich ist es so, dass ein Trägheitskoordinatensystem existiert und in irgendeiner Umgebung eines beliebigen Punktes gut ist.

Mit anderen Worten, da die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie Differentialgleichungen sind, werden Sie schreckliche Probleme haben, wenn Sie Koordinatensysteme wählen, die nicht differenzierbar zueinander in Beziehung stehen. Wenn die Karte zwischen Koordinatensystemen nicht 1-1 ist, dann stimmt in ähnlicher Weise mindestens eines von ihnen etwas katastrophal nicht.

Zusammen sind diese beiden Anforderungen das, was es bedeutet, ein Diffeomorphismus zu sein: eine Abbildung, die differenzierbar ist und eine differenzierbare Inverse hat. Die Existenz und Güte von Trägheitskoordinatensystemen gibt Ihnen dann einen Ansatzpunkt.